y = x^3/(x^2-1)

$$f{left (x right )} = frac{x^{3}}{x^{2} – 1}$$

Точки, в которых функция точно неопределена:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$frac{x^{3}}{x^{2} – 1} = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = 0$$
Численное решение
$$x_{1} = 0$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3/(x^2 – 1).
$$frac{0^{3}}{-1 + 0^{2}}$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 0$$
Точка:

(0, 0)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = – sqrt{3}$$
$$x_{3} = sqrt{3}$$
Зн. экстремумы в точках:

(0, 0)

___
___ -3*/ 3
(-/ 3, ——–)
2

___
___ 3*/ 3
(/ 3, ——-)
2

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{3} = sqrt{3}$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{3} = – sqrt{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -sqrt(3)] U [sqrt(3), oo)

Возрастает на промежутках

[-sqrt(3), sqrt(3)]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = 0$$
Также нужно подсчитать пределы y” для аргументов, стремящихся к точкам неопределённости функции:
Точки, где есть неопределённость:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

$$lim_{x to -1^-}left(frac{2 x}{x^{2} – 1} left(frac{4 x^{4}}{left(x^{2} – 1right)^{2}} – frac{7 x^{2}}{x^{2} – 1} + 3right)right) = -infty$$
$$lim_{x to -1^+}left(frac{2 x}{x^{2} – 1} left(frac{4 x^{4}}{left(x^{2} – 1right)^{2}} – frac{7 x^{2}}{x^{2} – 1} + 3right)right) = infty$$
– пределы не равны, зн.
$$x_{1} = -1$$
– является точкой перегиба
$$lim_{x to 1^-}left(frac{2 x}{x^{2} – 1} left(frac{4 x^{4}}{left(x^{2} – 1right)^{2}} – frac{7 x^{2}}{x^{2} – 1} + 3right)right) = -infty$$
$$lim_{x to 1^+}left(frac{2 x}{x^{2} – 1} left(frac{4 x^{4}}{left(x^{2} – 1right)^{2}} – frac{7 x^{2}}{x^{2} – 1} + 3right)right) = infty$$
– пределы не равны, зн.
$$x_{2} = 1$$
– является точкой перегиба

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

(-oo, 0]

Выпуклая на промежутках

[0, oo)

Есть:
$$x_{1} = -1$$
$$x_{2} = 1$$

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{x^{3}}{x^{2} – 1}right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3/(x^2 – 1), делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{x^{2}}{x^{2} – 1}right) = 1$$
Возьмём предел
значит,
уравнение наклонной асимптоты справа:
$$y = x$$

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$frac{x^{3}}{x^{2} – 1} = – frac{x^{3}}{x^{2} – 1}$$
– Нет
$$frac{x^{3}}{x^{2} – 1} = – frac{-1 x^{3}}{x^{2} – 1}$$
– Да
значит, функция
является
нечётной