y = x^3+x^2+16

$$f{left (x right )} = x^{3} + x^{2} + 16$$

График функции пересекает ось X при f = 0
значит надо решить уравнение:
$$x^{3} + x^{2} + 16 = 0$$
Решаем это уравнение
Точки пересечения с осью X:

Аналитическое решение
$$x_{1} = – frac{1}{3} sqrt[3]{12 sqrt{327} + 217} – frac{1}{3} – frac{1}{3 sqrt[3]{12 sqrt{327} + 217}}$$
Численное решение
$$x_{1} = -2.90108034029$$

График пересекает ось Y, когда x равняется 0:
подставляем x = 0 в x^3 + x^2 + 16.
$$0^{3} + 0^{2} + 16$$
Результат:
$$f{left (0 right )} = 16$$
Точка:

(0, 16)

Для того, чтобы найти экстремумы, нужно решить уравнение
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = 0$$
(производная равна нулю),
и корни этого уравнения будут экстремумами данной функции:
$$frac{d}{d x} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{2}{3}$$
$$x_{2} = 0$$
Зн. экстремумы в точках:

436
(-2/3, —)
27

(0, 16)

Интервалы возрастания и убывания функции:
Найдём интервалы, где функция возрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого смотрим как ведёт себя функция в экстремумах при малейшем отклонении от экстремума:
Минимумы функции в точках:
$$x_{2} = 0$$
Максимумы функции в точках:
$$x_{2} = – frac{2}{3}$$
Убывает на промежутках

(-oo, -2/3] U [0, oo)

Возрастает на промежутках

[-2/3, 0]

Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = 0$$
(вторая производная равняется нулю),
корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции:
$$frac{d^{2}}{d x^{2}} f{left (x right )} = $$
Решаем это уравнение
Корни этого ур-ния
$$x_{1} = – frac{1}{3}$$

Интервалы выпуклости и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках

[-1/3, oo)

Выпуклая на промежутках

(-oo, -1/3]

Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo
$$lim_{x to -infty}left(x^{3} + x^{2} + 16right) = -infty$$
Возьмём предел
значит,
горизонтальной асимптоты справа не существует

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 + x^2 + 16, делённой на x при x->+oo и x ->-oo
$$lim_{x to -infty}left(frac{1}{x} left(x^{3} + x^{2} + 16right)right) = infty$$
Возьмём предел
значит,
наклонной асимптоты справа не существует

Проверим функци чётна или нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
$$x^{3} + x^{2} + 16 = – x^{3} + x^{2} + 16$$
– Нет
$$x^{3} + x^{2} + 16 = – -1 x^{3} – x^{2} – 16$$
– Нет
значит, функция
не является
ни чётной ни нечётной