Определитель матрицы: онлайн калькулятор

При решении задач из различных областей прикладной математики часто приходится иметь дело с матрицами и определителями.
Этот сервис позволит быстро получить полное решение с подробными комментариями для задачи поиска определителя квадратной матрицы.

Определителем (детерминантом) n-го порядка, соответствующим матрице (1), называется алгебраическая сумма n! слагаемых, составленная по правилу: слагаемыми
служат всевозможные произведения n элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, причем слагаемое берется со
знаком плюс, если его верхние индексы составляют четную перестановку, и со знаком минус в противном случае.(2)

где А – квадратная матрица, порядка n

где det A, |A|, |a^j_k| – обозначения определителя матрицы А; суммирование производится по всем возможным перестановкам k1, k2, . . . , kn.

Вычисление определителей по правилу (2) – весьма громоздкая и трудоемкая процедура.
Тот факт, что для вычисления определителя 4-го порядка нужно выписать 4! = 24 слагаемых, а для определителя 5-го порядка – уже 5! = 120,
делает эту формулу малопригодной для практических расчетов. Для упрощения задачи вычисления определителей применяют специальные методы, основанные на использовании свойств матриц и определителей.

Способ 1 – Приведение матрицы к “треугольному” виду.

Из формулы (2) следует, что определитель треугольной матрицы (матрица, в которой все элементы расположенные ниже главной диагонали равны 0) равен произведению элементов главной диагонали, т.е.

Все остальные слагаемые определителя содержат нуль в качестве множителя и, следовательно, равны нулю.

Значит, для того чтобы найти определитель произвольной матрицы нам достаточно привести ее к треугольной форме. Для этого используем следующие два свойства определителей:

Свойство 1. Определитель не изменит свое значение, если ко всем элементам какой-либо строки (столбца) матрицы прибавить соответствующие элементы параллельной строки (столбца), умноженные на произвольное одно и то же число.

Свойство 2. При перестановке двух любых столбцов или строк матрицы ее определитель меняет знак на противоположный, а абсолютная величина определителя остается неизменной.

На основании этих свойств определителей составим расчетный алгоритм:

1. Рассматриваем строку i(начиная с первой). Если, элемент aⁱ_i равен нулю, меняем местами i-ю и i+1-ю строки матрицы. Знак определителя при этом изменится на противоположный. Если a¹₁ отличен от нуля – переходим к следующему шагу;
2. Для каждой строки j, ниже i-й находим значение коэффициента K_j=a^j_i/aⁱ_i;
3. Пересчитываем элементы всех строк j, расположенных ниже текущей строки i, с использованием соответствующих коэффициентов по формуле: a^j_kнов.=a^j_k-K_j*aⁱ_k;
   После чего, возвращаемся к первому шагу алгоритма и рассматриваем следующую строку, пока не доберемся до строки i=n-1, где n – размерность матрицы A
4. В полученной треугольной матрице расчитываем произведение всех элементов главной диагонали Пaⁱ_i, которое и будет являтся определителем;

Другими словами, суть метода можно сформулировать следующим образом. Нам необходимо сделать нулевыми все элементы матрицы ниже главной диагонали. Сначала мы получаем нули в первом столбце.
Для этого мы последовательно вычитаем первую строку, домноженную на нужное нам число (такое, чтоб при вычитании мы получили ноль в первом элементе строки), из всех ниже лежащих строк.
Затем проделываем то же самое для второй строки, чтобы получить нули во втором столбце ниже главной диагонали матрицы. И так далее пока не доберемся до предпоследней строки.