Фирма производит два вида продуктов К1 и К2 Для изготовления продуктов применяются машины А

Фирма производит два вида продуктов К1 и К2. Для изготовления продуктов применяются машины А, В, С и D. Время необходимое для изготовления продуктов К1 и К2 на разных машинах, допустимое время использования машин, а также прибыль от продажи продуктов приведены в таблице:
Машины Допустимое время (в часах) Необходимое время (в часах)

К1
К2
А 4 0 1
В 7 4 1
С 5 2 1
D 10 6 1
Прибыль от продажи продуктов, тыс. руб. 10 4

Какое количество каждого продукта необходимо произвести, чтобы прибыль была максимальной?РЕШЕНИЕ
1. Решим задачу графически
Пусть производится х изделий К1 и у изделий К2.
Тогда расход времени оборудования А составит: 0х+1у. По условию время работы на машине А не должно превышать 4 часа, значит у 4
Аналогично для машины В получаем: 4х+у 7
Для машины С: 2х+у5
Для машины D: 6х+у10
Прибыль от реализации продуктов 10х+4у (у.е.)
Количество производимых продуктов не может быть отрицательным, значит х0, у0
Так как необходимо максимизировать прибыль, то получаем задачу:
F=10х+4у max
у 4
4х+у 7
2х+у5
6х+у10
х0, y0
Решим данную задачу графически.
Построим на плоскости хОу прямые:
m1: у =4 – проходит через точки (0;4) и (4;4)
m2: 4х+у=7 – проходит через точки (1;3) и (0;7)
m3: 2х+у=5 – проходит через точки (0;5) и (2;1)
m4: 6х+у=10 – проходит через точки (0;10) и (1;4)
Выделяем полуплоскости, удовлетворяющие неравенствам. Область допустимых решений ОАВСDE:
Далее строим вектор-градиент целевой функции grad F=(10;4) или (1; 0,4)
Строим линию уровня х+0,4у=k перпендикулярно этому вектору. Сдвигая данную линию до последней точки пересечения с допустимым множеством, получаем, что оптимальным решением будет точка С пересечения прямых m3: 2х+у=5 и m2: 4х+у=7. Координаты точки С:
2х+у=5
4х+у=7
х=1, у=3
Значение целевой функции F=101+43=22 тыс. руб.

2. Решим задачу симплекс-методом
Перейдем от неравенств к равенствам:
f=10х+4ymax
у +z1=4
4х+у +z2=7
2х+у+z3=5
6х+у+z4=10
х0, y0, zi0
Первое неотрицательное решение получено (x,y,z1,z2,z3,z4) =(0,0,4,7,5,10). Базисные переменные z1,z2,z3,z4
Составим симплексную таблицу.

cj
базис
(xj) bi 10 4 0 0 0 0

х
y z1 z2 z3 z4
0 z1 4 0 1 1 0 0 0
0 z2 7 4 1 0 1 0 0 7/4
0 z3 5 2 1 0 0 1 0 5/2
0 z4 10 6 1 0 0 0 1 10/6
  f 0 -10 -4 0 0 0 0
0 z1 4 0 1 1 0 0 0 4
0 z2 1/3 0 1/3 0 1 0 -2/3 1
0 z3 5/3 0 2/3 0 0 1 -1/3 2,5
10 x 5/3 1 1/6 0 0 0 1/3 10

f 50/3 0 -7/3 0 0 0 5/3  
0 z1 3 0 0 1 -3 0 2 1,5
4 у 1 0 1 0 3 0 -2 -0,5
0 z3 1 0 0 0 -2 1 1 1
10 x 1,5 1 0 0 -0,5 0 0,5 3
  f 19 0 0 0 7 0 -3  
0 z1 1 0 0 1 1 -2 0
4 у 3 0 1 0 -1 2 0
0 z4 1 0 0 0 -2 1 1
10 x 1 1 0 0 0,5 -0,5 0
  f 22 0 0 0 1 3 0

Исходное опорное решение: X1 = (0,0,4,7,5,10), f1 = 0
В оценочной строке две отрицательные оценки: –10, –4. Выбираем в качестве разрешающего столбец, соответствующий х, т.к. оценка этого столбца (–10) наименьшая отрицательная оценка. Разрешающая строка выбирается по

этот минимум достигается для 4-й строки. Итак, в базис вводим х, выводим из базиса я=z4. В результате первого шага получаем второе опорное решение
Х2 =(5/3,0,4,1/3,5/3,0)
f2 =50/3.
В оценочной строке f есть отрицательное число -7/3, выбираем столбец у
Для второго столбца:
этот минимум достигается для 2-й строки. Итак, в базис вводим y, выводим из базиса z2. В результате второго шага получаем третье опорное решение
Х3=(1.5;1;3,0;1,0)
f3 = 19.
f2 =50/3.
В оценочной строке f есть отрицательное число -3, выбираем столбец z4
Для столбца z4:
этот минимум достигается для 3-й строки. Итак, в базис вводим z4, выводим из базиса z3. В результате второго шага получаем 4-е опорное решение
Х4=(1;3;1,0;0,1)
f4 = 22.
Дальнейшее увеличение f невозможно, т.к. все оценки стали неотрицательными.
3. Решим задачу с помощью Excel
Введем исходные данные и ограничения:

В режиме просмотра формул:

Введем ограничения в Поиск решения:

Выполним «Поиск решения»

Таким образом, следует выпускать 1 продукт К2 и 3 продукта К2, тогда прибыль будет максимальной и составит 22 тыс. руб.

Часть выполненной работы