Графическое изображение кривой F (x y ) = 0 в программе Maple строится с помощью команды implicitplot()

Графическое изображение кривой F (x,y ) = 0 в программе Maple строится с помощью команды implicitplot() , которая доступна после подзагрузки пакета plots . Эта команда имеет следующий основной формат
implicitplot (F(x,y)=0, x=a..b, y=c(x)..d(x), options);

Пример 3.12. Построить на плоскости кривую .
Решение. Для построения графика неявно заданной функции обычно приходится задавать большее количество точек, по которым строится график функции, чем количество точек, установленное по умолчанию. Это выполняется с помощью опции numpoints. Если график не выглядит гладким значение этой опции нужно увеличить.
> with(plots):
> implicitplot(x^2*y^2-2*x*y+6*x-y=0,x=-4..4,
y=-10..10,numpoints=10000,thickness=3,color=black);

Рисунок 3.19 – График кривой

Текстовые графики на плоскости
Текстовые графики на плоскости представляют собой фрагменты форматированного текста, расположенные в определенном месте на координатной плоскости. Строятся эти графики с помощью функции textplot пакета plots. Формат записи этой команды имеет вид textplot (L, options),
где L – это список, состоящий из элементов вида [x,y,”Текст”], в которых x,y – координаты расположения фрагмента текста, записанного в выражении “Текст”. Дополнительные опции позволяют форматировать текст и располагать его различным образом относительно заданных координат. Укажем значение этих опций
align=t – опция расположения текста относительно заданных координат, где t может принимать значения below, right, above, left.
font=[family, style, size] – опция форматирования фрагмента текста, где – family – шрифт, который может быть Times, Courier, Helvetica или Symbol.
– style – стиль шрифта, который может быть roman, bold, italic, bolditalic, oblique или boldoblique. При этом стиль не применяется к шрифту Symbol .
– size определяет размер шрифта.
Пример 3.13. Расположить на координатной плоскости следующие фрагменты текста
1) текст «Точка В(1,2)» – снизу слева от точки с координатами (1,2). Шрифт, стиль и размер выбрать в виде Courier, Italic, 12;
2) текст «Точка с координатами (2,4)» – сверху справа от точки с координатами (2,4). Шрифт, стиль и размер выбрать такими: Courier, Bold,
12.
Решение. Задаем команду построения текстового графика, согласно заданным условиям (рисунок 3.20)
> with(plots):
> textplot([[1,2,”Точка B(1,2)”,
font=[Courier,Italic,12],align=[below,left]],
[2,4,”Точка с координатами (2,4)”,
font=[Courier,Bold,12],align=[above,right]]],
view=[-6..5,0..5],axes=frame);

Рисунок 3.20 – Текстовый график.

Комбинированные графики
Часто на одном графике нужно отобразить несколько кривых, точек, текстовых фрагментов. Для этого сначала нужно создать отдельно каждый график со всеми характерными опциями, присваивая ему имя, то есть создать графический объект. Затем все созданные графические объекты отображаем на одном графике с помощью команды display пакета plots.
Пример 3.14. Построить в одном окне: 1) графики функций y = sin2x – 3 и ; 2) график окружности ; 3) изображение точек A(-1,2), B(4,5). Поместить внизу текст «Комбинированный график».
Решение. Создадим четыре графических объекта и поместим их на один график (рисунок 3.21)
> with(plots):
> P1:=plot([sin(2*x)-3,x^3-4*x+2],x=-10..10):
> P2:=implicitplot((x-5)^2+(y-5)^2=4,x=-10..10,
y=-10..10, numpoints=10000):
> P3:=pointplot([[-1,2],[3,5]],style=point,
symbol=solidcircle, symbolsize=15):
> P4:=textplot([[-1,2,”A”,align=[above,left]],
[3,5,”B”, align=[above,left]],[-8,-8,”Комбинированный
график”, font=[Times,14],align=[below,right]]]):
> display(P1,P2,P3,P4,view=[-10..10,-10..10]);

Рисунок 3.22 – Комбинированный график

Задание для самостоятельного решения(ПРИЛОЖЕНИЕ3)

3.4.Лабораторная работа: «Механический осциллятор. Задача маятник».
Цель: изучить понятие имитационной модели и систем на примере решения задачи Маятник»
1 Теоретические основы движения маятника
Математический маятник – осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебаний математического маятника длины L неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести с ускорением свободного падения g равен

и не зависит от амплитуды колебаний и массы маятника[2,55].

Рис. 2. Схема движения математического маятника.
Обозначения в тексте

Плоский математический маятник со стержнем – система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический с приведённой длиной[2,56].
Уравнение колебаний математического маятника
Колебания математического маятника описываются обыкновенным дифференциальным уравнением вида

где ω ― положительная константа, определяемая исключительно из параметров маятника. Неизвестная функция QUOTE ― это угол отклонения маятника в момент QUOTE от нижнего положения равновесия, выраженный в радианах;
QUOTE
где QUOTE ― длина подвеса, QUOTE ― ускорение свободного падения. Уравнение малых колебаний маятника около нижнего положения равновесия (т. н. гармоническое уравнение) имеет вид:

Гармонические колебания
Маятник, совершающий малые колебания, движется по синусоиде.

где QUOTE амплитуда колебаний маятника, QUOTE – начальная фаза колебаний, QUOTE – циклическая частота, которая определяется из уравнения движения. Движение, совершаемое маятником, называется гармоническими колебаниями.
Физический маятник
Физический маятник – осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.
Обозначения:
θ – угол отклонения маятника от равновесия;
α – начальный угол отклонения маятника;
QUOTE – масса маятника;
– расстояние от точки подвеса до центра тяжести маятника;
QUOTE – радиус инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести.
QUOTE – ускорение свободного падения.
Момент инерции относительно оси, проходящей через точку подвеса:

Дифференциальное уравнение движения физического маятника
Пренебрегая сопротивлением среды, дифференциальное уравнение колебаний физического маятника в поле силы тяжести записывается следующим образом:

Полагая QUOTE , предыдущее уравнение можно переписать в виде:

Последнее уравнение аналогично уравнению колебаний математического маятника длиной QUOTE . Величина QUOTE называется приведённой длиной физического маятника.
Центр качения физического маятника:
Центр качания – точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.
Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии QUOTE от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.
Построение модели математического маятника в системе Maple
> restart:with(DEtools):
> x1:=l1*sin (q1 (t)):
> y1:=-l1*cos (q1 (t)):
> T:=m1/2*((diff (x1, t)^2+diff (y1, t)^2))+1/2*I1*(diff (q1 (t), t)^2);

> I1:=2/5*m1*R1^2:
> T:=simplify(T);

> U:=m1*g*(y1+l1):
> U:=simplify(U);

> L1:=T-U:
> L3:=eval (L1, diff (q1 (t), t)=w1 (t)):
> L2:=eval (eval(L1, diff (q1 (t), t)=w1), q1 (t)=q1):
> L:=unapply (L2, q1, w1):
> Lw1:=diff(L(q1,w1),w1):
> Lq11:=diff(L(q1, w1), q1):
> Lq1:=eval (eval(Lq11, w1=w1 (t)), q1=q1 (t)):
> Lw1:=eval (eval(Lw1, w1=w1 (t)), q1=q1 (t)):
> Lw1t1:=diff (Lw1, t):
> Lw1t:=eval (Lw1t1, diff (q1 (t), t)=w1 (t)):
> F1:=-k1*l1*w1 (t):
> m1:=0.003; l1:=0.3; g:=9.8; k1:=0.0002; R1:=0.005;

> sys:= simplify (Lw1t-Lq1=F1), w1 (t)=diff (q1 (t), t):
> funcs:={q1 (t), w1 (t)}:
> nys:=q1 (0)=Pi/4, w1 (0)=0;

> sol:=dsolve({sys, nys}, funcs, numeric, output=listprocedure):
> r1:=subs (sol, q1 (t)):
> plot (r1 (t), t=0..12);

> x[1] (t):=l1*sin (r1 (t)):
> y[1] (t):=-l1*cos (r1 (t)):
> with(plots): with(plottools):
> anim:= proc (x_1, y_1) local line1, ball1;
ball1:=pointplot([x_1, y_1], color=blue, symbol=solidcircle, symbolsize=50);
line1:=line([0,0], [x_1, y_1], color=magenta);
display (line1, ball1);
end proc:
> animate (anim, [x[1] (t), y[1] (t)], t=0..30, scaling=constrained, frames=500);

Построение модели физического маятника в системе Maple

> restart:with(DEtools):
> x1:=l1/2*sin (q1 (t)):
> y1:=-l1/2*cos (q1 (t)):
> T:=1/2*I1*(diff (q1 (t), t)^2);

> I1:=1/3*m1*l1^2:
> T:=simplify(T);

> U:=m1*g*(y1+l1);

> U:=simplify(U);

> L1:=T-U:
> L3:=eval (L1, diff (q1 (t), t)=w1 (t)):
> L2:=eval (eval(L1, diff (q1 (t), t)=w1), q1 (t)=q1):
> L:=unapply (L2, q1, w1):
> Lw1:=diff (L(q1, w1), w1):
Lq11:=diff (L(q1, w1), q1):
> Lq1:=eval (eval(Lq11, w1=w1 (t)), q1=q1 (t)):
> Lw1:=eval (eval(Lw1, w1=w1 (t)), q1=q1 (t)):
> Lw1t1:=diff(Lw1, t):
> Lw1t:=eval (Lw1t1, diff (q1 (t), t)=w1 (t)):
> F1:=-k1*l1*w1 (t):
> m1:=0.175; l1:=0.295; g:=9.8; k1:=0.005;

> sys:= simplify (Lw1t-Lq1=F1), w1 (t)=diff (q1 (t), t):
> funcs:={q1 (t), w1 (t)}:
> nys:=q1 (0)=0.99*Pi, w1 (0)=0;

> r1:=subs (sol, q1 (t)):
> plot (r1 (t), t=0..10);

> x[1] (t):=l1*sin (r1 (t)):
> y[1] (t):=-l1*cos (r1 (t)):
> with(plots): with(plottools):
> anim:= proc (x_1, y_1) local line1;
line1:=curve([[0, 0], [x_1, y_1]], color = «DarkBlue», thickness = 50);
display(line1);
end proc:
> animate (anim, [x[1] (t), y[1] (t)], t=0..30, scaling=constrained, frames=500).

Задание для самостоятельного решения(ПРИЛОЖЕНИЕ5)

В результате выполненных исследований разработаны структура, алгоритмы и программные решения моделирования движения нелинейного маятника.
Предложенная тема по движению физического маятника выходит за рамки учебного процесса. На основании этого была поставлена и решена задача по изучению движения нелинейного математического и физического маятников. Был подобран теоретический материал и расчетные формулы для аппроксимации движения маятника в нелинейном случае.
В программной среде Maple с использованием встроенных функций была разработана имитационная модель математического и физического маятников. Изменяемыми параметрами модели были определены начальный угол отклонения и коэффициент затухания. Программа предназначена для работы под управлением Windows xp и Windows 7.

3.5. Лабораторная работа: «Оценка параметров методом Моментов»

Метод моментов используется для определения параметров функции распределения вероятностей, сравнивая моменты образца к моментам распределения вероятностей. Для того чтобы применить метод моментов, применяются следующие шаги:

1. Рассчитать первые п моменты фитинга распределения, где п число свободных неизвестных в примерочной распределения. Например, чтобы выполнить посадку с использованием нормального распределения, который имеет параметры му и Sigma, вычислить первые 2 минуты.

2. Рассчитайте первые п моменты выборки данных.

3. приравнять уравнений, порожденных шагов 1 и 2 и решать для неизвестных.

Предполагая, что уравнения, созданные на шаге 3 может быть решена, эти шаги предоставить вам с оценкой к значениям параметров фитинга распределения. В качестве примера рассмотрим оценку параметров распределения бета-версии, с параметрами Ну и омега:

3.6. Лабораторная работа: «Моделирование стохастических систем. Общие и частные стохастические методы. Моделирование последовательностей независимых и зависимых случайных испытаний. Общий алгоритм моделирования дискретной случайной величины»

Цель:
Написать процедуру, вычисляющую центральный момент s-ого порядка ДСВ. Входными параметрами процедуры являются сам закон распределения ДСВ и заданный порядок s.

На странице представлен фрагмент работы. Его можно использовать, как базу для подготовки.

Заказать полное решение

Часть выполненной работы