Найти координаты ортогональной проекции точки P(5,2,-1) на плоскость 2x- y + 3z + 23 = 0
Искомая проекция есть точка пересечения перпендикуляра к заданной плоскости, проходящего через точку Р, с заданной плоскостью. Нормальный вектор плоскости (2,-1,3) это направляющий вектор для перпендикуляра, и он проходит через точку Р. Тогда уравнение перпендикуляра (x-5)/2=(y-2)/(-1)=(z+1)/3 Записываем в параметрическом виде. x=2t+5 y=-t+2 z=3t-1 Подставив в уравнение плоскости, получим: 4t+10+t-2+9t-3+23 => 14t=-28 => t=-2 x=1; y=4; z=-7 – это координаты точки пересечения, то есть искомой проекции. Ответ. P’(1,4,-7).
5. Выяснить взаимное расположение прямых:
Решение основано на исследовании направляющих векторов прямых:
а) Из уравнений найдём направляющие векторы прямых: .
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:, значит, векторы не коллинеарны и прямые пересекаются.
б) Найдем направляющие векторы прямых :
Прямые имеют один и тот же направляющий вектор, значит, они либо параллельны, либо совпадают. Тут и определитель считать не надо.
Очевидно, что коэффициенты при неизвестных пропорциональны, при этом .
Выясним, справедливо ли равенство :
Таким образом,
в) Найдем направляющие векторы прямых :
Вычислим определитель, составленный из координат данных векторов:, следовательно, направляющие векторы коллинеарны. Прямые либо параллельны либо совпадают.
Коэффициент пропорциональности «лямбда» можно узнать прямо соотношения коллинеарных направляющих векторов . Впрочем, можно и через коэффициенты самих уравнений: .
Теперь выясним, справедливо ли равенство . Оба свободных члена нулевые, поэтому:
Полученное значение удовлетворяет данному уравнению (ему удовлетворяет вообще любое число).
Таким образом, прямые совпадают.
Часть выполненной работы
7. Дана поверхность второго порядка
Определить вид этой поверхности ,доказать , что она является поверхностью вращения , написать её каноническое уравнение.
Решение. Имеем
, .
Поверхность невырожденная центральная. Характеристическое уравнение имеет вид :
или. Так как и среди корней характеристического уравнения имеются как положительные, так и отрицательные (согласно правилу Декарта один корень положительный и два отрицательных), то поверхность – однополостный гиперболоид.
Для того чтобы поверхность второго порядка была поверхностью вращения , необходимо и достаточно, что бы её характеристическое уравнение имело кратный корень, для чего в свою очередь необходимо и достаточно, чтобы корень характеристического многочлена был в то же время и корнем его производной. Производная характеристического многочлена:
Корни производной . Подвергаем проверке только один корень -3, т.к у характеристического многочлена только один положительный корень. Действительно ,
,
оказывается корнем характеристического многочлен…
Купить уже готовую работу
Так же вы можете купить уже выполненные похожие работы. Для удобства покупки работы размещены на независимой бирже. Подробнее об условиях покупки тут .
