Для нахождения производной функции y=arcsin(8x*log₃(5x)) воспользуемся правилом цепочки и правилом производной композиции функций.
Шаг 1: Обозначим внешнюю функцию как u = arcsin(v), где v = 8x*log₃(5x).
Шаг 2: Производная arcsin(v) равна 1/√(1-v²) * dv/dx. Здесь dv/dx – производная v по переменной x.
Шаг 3: Найдем производную v = 8x*log₃(5x) по переменной x с помощью правила производной композиции. В нашем случае v = u * w, где u = 8x, w = log₃(5x).
Шаг 4: Производная u = 8x равна 8.
Шаг 5: Производная w = log₃(5x) равна (1/ln(3)) * (1/x), так как ln(3) – натуральный логарифм от 3.
Шаг 6: Теперь найдем производную v = u * w по переменной x с помощью правила производной произведения функций. dv/dx = u * (dw/dx) + (du/dx) * w.
Шаг 7: Подставим значения из шагов 4 и 5 в формулу из шага 6 и получим dv/dx = 8 * (1/ln(3)) * (1/x) + 8x * ((1/ln(3)) * (-1/x²)).
Шаг 8: Упростим выражение из шага 7 и получим dv/dx = 8/ln(3x) – 8/(x ln(3)).
Шаг 9: Теперь подставим dv/dx из шага 8 и v = 8x*log₃(5x) в формулу производной arcsin(v) из шага 2, получим dy/dx = (1/√(1-v²)) * (dv/dx).
Шаг 10: Подставим значения из шага 8 в формулу производной arcsin(v) и получим dy/dx = (1/√(1-(8x*log₃(5x))²)) * (8/ln(3x) – 8/(x ln(3))).
Итак, производная функции y=arcsin(8x*log₃(5x)) равна (1/√(1-(8x*log₃(5x))²)) * (8/ln(3x) – 8/(x ln(3))).