Дана равнинная фигура MABC с вершинами A(−1, 0), B(2, −3) и C(5, 3). Найдите: а) уравнения медианы m, проходящей через вершину C; б) уравнение высоты h, проведенной через вершину A; в) координаты точки пересечения прямых m и h; г) площадь фигуры MABC.
а) Для того чтобы найти уравнение медианы m, проходящей через вершину C, нужно найти середину отрезка AB. Для этого найдем среднее арифметическое координат вершин A и B:
x_m = (-1 + 2)/2 = 1/2
y_m = (0 + (-3))/2 = -3/2
Таким образом, середина отрезка AB имеет координаты M(1/2, -3/2).
Затем найдем угловой коэффициент прямой MC, который равен:
k = (3 – (-3/2))/(5 – 1/2) = 6.5
Зная угловой коэффициент и одну точку M(1/2, -3/2), можем записать уравнение прямой m:
y – y_m = k(x – x_m)
y + 3/2 = 6.5(x – 1/2)
2y + 3 = 13x – 6.5
2y = 13x – 6.5 – 3
2y = 13x – 9.5
Таким образом, уравнение медианы m имеет вид: 2y = 13x – 9.5.
б) Уравнение висоты h, проведенной через вершину A, будет перпендикулярно отрезку BC. Найдем угловой коэффициент прямой BC:
k_BC = (3 – (-3))/ (5 – 2) = 2
Так как висота проведена через вершину A, то прямая будет проходить через эту точку. Зная угловой коэффициент и точку A, можем записать уравнение прямой h:
y – y_A = -1/k_BC (x – x_A)
y = -1/2(x + 1)
Таким образом, уравнение висоты h имеет вид: y = -1/2(x + 1).
в) Чтобы найти координаты точки пересечения прямых m и h, решим систему уравнений:
2y = 13x – 9.5
y = -1/2(x + 1)
Подставим второе уравнение в первое:
2*(-1/2(x + 1)) = 13x – 9.5
-1(x + 1) = 13x – 9.5
-x – 1 = 13x – 9.5
14x = 8.5
x = 0.607
Подставим x во второе уравнение:
y = -1/2(0.607 + 1)
y = -1.303
Таким образом, координаты точки пересечения прямых m и h равны (0.607, -1.303).
г) Чтобы найти площадь фигуры MABC, воспользуемся формулой для площади треугольника: S = 1/2 * | x1 (y2 – y3) + x2 (y3 – y1) + x3 (y1 – y2) |.
Зная координаты вершин треугольника A(-1, 0), B(2, -3) и C(5, 3), можем подставить их в формулу:
S = 1/2 * | -1 ( -3 – 3) + 2 (3 – 0) + 5 (0 + 3) |
S = 1/2 * |-1*(-6) + 2*3 + 5*3 |
S = 1/2 * (6 + 6 + 15)
S = 1/2 * 27
S = 13.5
Таким образом, площадь фигуры MABC равна 13.5.