В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АВ так, что АК:КВ=2:3. Точка М лежит на стороне ВС так, что ВМ:МС=2:3. АМ пересекает СК в точке О. ВО пересекает АС в точке Т. Найдите отношение площадей треугольников SABT: SBTC.

У нас есть треугольники АВС, АКС и ТОВ, и нам нужно найти отношение площади треугольника SABT к SBTC.

1. Сначала найдем отношение длин отрезков АК и КВ. По условию, АК:КВ=2:3. Пусть длина отрезка АК – 2х, тогда длина отрезка КВ – 3х.

2. Теперь найдем отношение длин отрезков ВМ и МС. По условию, ВМ:МС=2:3. Пусть длина отрезка ВМ – 2у, тогда длина отрезка МС – 3у.

3. Из отношений длин отрезков АК и КВ, а также ВМ и МС, мы можем найти отношения длин отрезков АК и КС, а также АВ и ВС. АК:КС=АК:АВ=КВ:ВС=2:3.

4. Теперь посмотрим на треугольники АКС и ТОВ. Они подобны по теореме об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы. То есть отношение площадей треугольников АКС и ТОВ равно квадрату отношения длин соответствующих сторон. То есть (АК:КС)² = (ТО:ОС)² = 4:9.

5. Отношение площади треугольника SABT к SBTC будет равно отношению площади треугольника АКС к ТОВ. Так как мы уже вычислили это отношение как 4:9, ответ на задачу будет 4:9.

Таким образом, отношение площадей треугольников SABT и SBTC равно 4:9.