150=x*(4+3+5)+y*3-z*5 130=y*(5+3+2)+x*3+z*2 120=z*(1+5+2+7)+y*2-x*5

130 = y*10 + x*3 + z*2

120 = z*15 + y*2 – x*5

16.4269319051262

$$z_{1} = frac{16650}{1307}$$
=
$$frac{16650}{1307}$$
=

12.7390971690895

$$y_{1} = frac{7220}{1307}$$
=
$$frac{7220}{1307}$$
=

5.52410099464422

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 12 x – 3 y + 5 z = -150$$
$$- 3 x – 10 y – 2 z = -130$$
$$5 x – 2 y – 15 z = -120$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}5 x_{3} + – 12 x_{1} – 3 x_{2} – 2 x_{3} + – 3 x_{1} – 10 x_{2} – 15 x_{3} + 5 x_{1} – 2 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-150 -130 -120end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}-12 & -3 & 5 -3 & -10 & -25 & -2 & -15end{matrix}right] right )} = -1307$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{1307} {det}{left (left[begin{matrix}-150 & -3 & 5 -130 & -10 & -2 -120 & -2 & -15end{matrix}right] right )} = frac{21470}{1307}$$
$$x_{2} = – frac{1}{1307} {det}{left (left[begin{matrix}-12 & -150 & 5 -3 & -130 & -25 & -120 & -15end{matrix}right] right )} = frac{7220}{1307}$$
$$x_{3} = – frac{1}{1307} {det}{left (left[begin{matrix}-12 & -3 & -150 -3 & -10 & -1305 & -2 & -120end{matrix}right] right )} = frac{16650}{1307}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- 12 x – 3 y + 5 z = -150$$
$$- 3 x – 10 y – 2 z = -130$$
$$5 x – 2 y – 15 z = -120$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}-12 & -3 & 5 & -150 -3 & -10 & -2 & -1305 & -2 & -15 & -120end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}-12 -35end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}-12 & -3 & 5 & -150end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -10 – – frac{3}{4} & -2 – frac{5}{4} & -130 – – frac{75}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} & – frac{185}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-12 & -3 & 5 & -150 & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} & – frac{185}{2}5 & -2 & -15 & -120end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -2 – frac{5}{4} & -15 – – frac{25}{12} & -120 – frac{125}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{13}{4} & – frac{155}{12} & – frac{365}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-12 & -3 & 5 & -150 & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} & – frac{185}{2} & – frac{13}{4} & – frac{155}{12} & – frac{365}{2}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}-3 – frac{37}{4} – frac{13}{4}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} & – frac{185}{2}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-12 & 0 & – frac{-39}{37} + 5 & -120end{matrix}right] = left[begin{matrix}-12 & 0 & frac{224}{37} & -120end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-12 & 0 & frac{224}{37} & -120 & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} & – frac{185}{2} & – frac{13}{4} & – frac{155}{12} & – frac{365}{2}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{13}{4} – – frac{13}{4} & – frac{155}{12} – – frac{169}{148} & – frac{365}{2} – – frac{65}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{1307}{111} & -150end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-12 & 0 & frac{224}{37} & -120 & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} & – frac{185}{2} & 0 & – frac{1307}{111} & -150end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{224}{37} – frac{13}{4} – frac{1307}{111}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{1307}{111} & -150end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}-12 & 0 & – frac{224}{37} + frac{224}{37} & -120 – frac{100800}{1307}end{matrix}right] = left[begin{matrix}-12 & 0 & 0 & – frac{257640}{1307}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-12 & 0 & 0 & – frac{257640}{1307} & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} & – frac{185}{2} & 0 & – frac{1307}{111} & -150end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{37}{4} & – frac{13}{4} – – frac{13}{4} & – frac{185}{2} – – frac{108225}{2614}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{37}{4} & 0 & – frac{66785}{1307}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}-12 & 0 & 0 & – frac{257640}{1307} & – frac{37}{4} & 0 & – frac{66785}{1307} & 0 & – frac{1307}{111} & -150end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- 12 x_{1} + frac{257640}{1307} = 0$$
$$- frac{37 x_{2}}{4} + frac{66785}{1307} = 0$$
$$- frac{1307 x_{3}}{111} + 150 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{21470}{1307}$$
$$x_{2} = frac{7220}{1307}$$
$$x_{3} = frac{16650}{1307}$$

x1 = 16.42693190512624
y1 = 5.524100994644223
z1 = 12.73909716908952