5*x+7*y=70 12*y-7*x=11

12*y – 7*x = 11

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x + 7 y = 70$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = – 7 y + 70$$
$$5 x = – 7 y + 70$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$frac{5 x}{5} = frac{1}{5} left(- 7 y + 70right)$$
$$x = – frac{7 y}{5} + 14$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$- 7 x + 12 y = 11$$
Получим:
$$12 y – – frac{49 y}{5} + 98 = 11$$
$$frac{109 y}{5} – 98 = 11$$
Перенесем свободное слагаемое -98 из левой части в правую со сменой знака
$$frac{109 y}{5} = 109$$
$$frac{109 y}{5} = 109$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{frac{109}{5} y}{frac{109}{5}} = 5$$
$$y = 5$$
Т.к.
$$x = – frac{7 y}{5} + 14$$
то
$$x = – 7 + 14$$
$$x = 7$$

Ответ:
$$x = 7$$
$$y = 5$$

7

$$y_{1} = 5$$
=
$$5$$
=

5

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 7 y = 70$$
$$- 7 x + 12 y = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}5 x_{1} + 7 x_{2} – 7 x_{1} + 12 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}7011end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}5 & 7 -7 & 12end{matrix}right] right )} = 109$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{109} {det}{left (left[begin{matrix}70 & 711 & 12end{matrix}right] right )} = 7$$
$$x_{2} = frac{1}{109} {det}{left (left[begin{matrix}5 & 70 -7 & 11end{matrix}right] right )} = 5$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 7 y = 70$$
$$- 7 x + 12 y = 11$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}5 & 7 & 70 -7 & 12 & 11end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}5 -7end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}5 & 7 & 70end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{-49}{5} + 12 & 109end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{109}{5} & 109end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 7 & 70 & frac{109}{5} & 109end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}7\frac{109}{5}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{109}{5} & 109end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}5 & 0 & 35end{matrix}right] = left[begin{matrix}5 & 0 & 35end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 0 & 35 & frac{109}{5} & 109end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} – 35 = 0$$
$$frac{109 x_{2}}{5} – 109 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 7$$
$$x_{2} = 5$$

x1 = 7.00000000000000
y1 = 5.00000000000000