5*x+7*y=80 7*x+5*y=80

7*x + 5*y = 80

Из 1-го ур-ния выразим x
$$5 x + 7 y = 80$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$5 x = – 7 y + 80$$
$$5 x = – 7 y + 80$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$frac{5 x}{5} = frac{1}{5} left(- 7 y + 80right)$$
$$x = – frac{7 y}{5} + 16$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$7 x + 5 y = 80$$
Получим:
$$5 y + 7 left(- frac{7 y}{5} + 16right) = 80$$
$$- frac{24 y}{5} + 112 = 80$$
Перенесем свободное слагаемое 112 из левой части в правую со сменой знака
$$- frac{24 y}{5} = -32$$
$$- frac{24 y}{5} = -32$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{-1 frac{24}{5} y}{- frac{24}{5}} = frac{20}{3}$$
$$y = frac{20}{3}$$
Т.к.
$$x = – frac{7 y}{5} + 16$$
то
$$x = – frac{28}{3} + 16$$
$$x = frac{20}{3}$$

Ответ:
$$x = frac{20}{3}$$
$$y = frac{20}{3}$$

6.66666666666667

$$y_{1} = frac{20}{3}$$
=
$$frac{20}{3}$$
=

6.66666666666667

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 7 y = 80$$
$$7 x + 5 y = 80$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}5 x_{1} + 7 x_{2}7 x_{1} + 5 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}8080end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}5 & 77 & 5end{matrix}right] right )} = -24$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{24} {det}{left (left[begin{matrix}80 & 780 & 5end{matrix}right] right )} = frac{20}{3}$$
$$x_{2} = – frac{1}{24} {det}{left (left[begin{matrix}5 & 807 & 80end{matrix}right] right )} = frac{20}{3}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$5 x + 7 y = 80$$
$$7 x + 5 y = 80$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}5 & 7 & 807 & 5 & 80end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}57end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}5 & 7 & 80end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{49}{5} + 5 & -32end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{24}{5} & -32end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 7 & 80 & – frac{24}{5} & -32end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}7 – frac{24}{5}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & – frac{24}{5} & -32end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}5 & 0 & – frac{140}{3} + 80end{matrix}right] = left[begin{matrix}5 & 0 & frac{100}{3}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}5 & 0 & frac{100}{3} & – frac{24}{5} & -32end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$5 x_{1} – frac{100}{3} = 0$$
$$- frac{24 x_{2}}{5} + 32 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{20}{3}$$
$$x_{2} = frac{20}{3}$$

x1 = 6.666666666666667
y1 = 6.666666666666667