c*cos(30)+a*cos(75)=10 c*sin(60)+a*sin(15)=0

$$a cos{left (75 right )} + c cos{left (30 right )} = 10$$

c*sin(60) + a*sin(15) = 0

$$a sin{left (15 right )} + c sin{left (60 right )} = 0$$

Дана система ур-ний
$$a cos{left (75 right )} + c cos{left (30 right )} = 10$$
$$a sin{left (15 right )} + c sin{left (60 right )} = 0$$

Из 1-го ур-ния выразим a
$$a cos{left (75 right )} + c cos{left (30 right )} = 10$$
Перенесем слагаемое с переменной c из левой части в правую со сменой знака
$$a cos{left (75 right )} = – c cos{left (30 right )} + 10$$
$$a cos{left (75 right )} = – c cos{left (30 right )} + 10$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при a
$$frac{a cos{left (75 right )}}{cos{left (75 right )}} = frac{- c cos{left (30 right )} + 10}{cos{left (75 right )}}$$
$$a = frac{- c cos{left (30 right )} + 10}{cos{left (75 right )}}$$
Подставим найденное a в 2-е ур-ние
$$a sin{left (15 right )} + c sin{left (60 right )} = 0$$
Получим:
$$c sin{left (60 right )} + frac{- c cos{left (30 right )} + 10}{cos{left (75 right )}} sin{left (15 right )} = 0$$
$$c sin{left (60 right )} – frac{c cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} sin{left (15 right )} + frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}} = 0$$
Перенесем свободное слагаемое 10*sin(15)/cos(75) из левой части в правую со сменой знака
$$c sin{left (60 right )} – frac{c cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} sin{left (15 right )} = – frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}}$$
$$c sin{left (60 right )} – frac{c cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} sin{left (15 right )} = – frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при c
$$frac{c sin{left (60 right )} – frac{c cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} sin{left (15 right )}}{c sin{left (60 right )} – frac{c cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} sin{left (15 right )}} = frac{-1 cdot 10 sin{left (15 right )} frac{1}{cos{left (75 right )}}}{c sin{left (60 right )} – frac{c cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} sin{left (15 right )}}$$
$$frac{20 sin{left (15 right )}}{c left(- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}right)} = 1$$
Т.к.
$$a = frac{- c cos{left (30 right )} + 10}{cos{left (75 right )}}$$
то
$$a = frac{- cos{left (30 right )} + 10}{cos{left (75 right )}}$$
$$a = frac{- cos{left (30 right )} + 10}{cos{left (75 right )}}$$

Ответ:
$$a = frac{- cos{left (30 right )} + 10}{cos{left (75 right )}}$$
$$frac{20 sin{left (15 right )}}{c left(- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}right)} = 1$$

$$c_{1} = frac{20 sin{left (15 right )}}{- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}}$$
=
$$frac{20 sin{left (15 right )}}{- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}}$$
=

17.0559509515896

$$a_{1} = frac{- 10 sin{left (135 right )} + 10 sin{left (15 right )}}{left(- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}right) cos{left (75 right )}}$$
=
$$frac{- 10 sin{left (135 right )} + 10 sin{left (15 right )}}{left(- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}right) cos{left (75 right )}}$$
=

7.99466741033764

$$a cos{left (75 right )} + c cos{left (30 right )} = 10$$
$$a sin{left (15 right )} + c sin{left (60 right )} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a cos{left (75 right )} + c cos{left (30 right )} – 10 = 0$$
$$a sin{left (15 right )} + c sin{left (60 right )} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{1} cos{left (75 right )} + x_{2} cos{left (30 right )}x_{1} sin{left (15 right )} + x_{2} sin{left (60 right )}end{matrix}right] = left[begin{matrix}10end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}cos{left (75 right )} & cos{left (30 right )}\sin{left (15 right )} & sin{left (60 right )}end{matrix}right] right )} = sin{left (60 right )} cos{left (75 right )} – sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{{det}{left (left[begin{matrix}10 & cos{left (30 right )} & sin{left (60 right )}end{matrix}right] right )}}{sin{left (60 right )} cos{left (75 right )} – sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}} = frac{1}{cos{left (75 right )}} left(frac{10 sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{left(sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}right) cos{left (75 right )}} + 10right)$$
=
$$frac{20 sin{left (60 right )}}{- sin{left (45 right )} + sin{left (135 right )}}$$
$$x_{2} = frac{{det}{left (left[begin{matrix}cos{left (75 right )} & 10\sin{left (15 right )} & 0end{matrix}right] right )}}{sin{left (60 right )} cos{left (75 right )} – sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}} = – frac{10 sin{left (15 right )}}{left(sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}right) cos{left (75 right )}}$$
=
$$frac{20 sin{left (15 right )}}{- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}}$$

Дана система ур-ний
$$a cos{left (75 right )} + c cos{left (30 right )} = 10$$
$$a sin{left (15 right )} + c sin{left (60 right )} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$a cos{left (75 right )} + c cos{left (30 right )} – 10 = 0$$
$$a sin{left (15 right )} + c sin{left (60 right )} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}cos{left (75 right )} & cos{left (30 right )} & 10\sin{left (15 right )} & sin{left (60 right )} & 0end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}cos{left (75 right )}\sin{left (15 right )}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}cos{left (75 right )} & cos{left (30 right )} & 10end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- sin{left (15 right )} + sin{left (15 right )} & sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} & – frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} & – frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}cos{left (75 right )} & cos{left (30 right )} & 10 & sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} & – frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}cos{left (30 right )}\sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} & – frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- 0 + cos{left (75 right )} & – cos{left (30 right )} + cos{left (30 right )} & – frac{-1 cdot 10 sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{left(sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}right) cos{left (75 right )}} + 10end{matrix}right] = left[begin{matrix}cos{left (75 right )} & 0 & frac{10 sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{left(sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}right) cos{left (75 right )}} + 10end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}cos{left (75 right )} & 0 & frac{10 sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{left(sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}right) cos{left (75 right )}} + 10 & sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}} & – frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} cos{left (75 right )} – 10 – frac{10 sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{left(sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}right) cos{left (75 right )}} = 0$$
$$x_{2} left(sin{left (60 right )} – frac{sin{left (15 right )} cos{left (30 right )}}{cos{left (75 right )}}right) + frac{10 sin{left (15 right )}}{cos{left (75 right )}} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{20 sin{left (60 right )}}{- sin{left (45 right )} + sin{left (135 right )}}$$
$$x_{2} = frac{20 sin{left (15 right )}}{- sin{left (135 right )} + sin{left (45 right )}}$$

a1 = 7.99466741033764
c1 = 17.05595095158955