log(1/3)*(x+y)=2 log(1/3)*(x-y)=2

log(1/3)*(x – y) = 2

Из 1-го ур-ния выразим x
$$left(x + yright) log{left (frac{1}{3} right )} = 2$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x log{left (frac{1}{3} right )} + left(x + yright) log{left (frac{1}{3} right )} – left(x + yright) log{left (frac{1}{3} right )} = – -1 x log{left (frac{1}{3} right )} – left(x + yright) log{left (frac{1}{3} right )} + 2$$
$$- x log{left (3 right )} = – x log{left (3 right )} + left(x + yright) log{left (3 right )} + 2$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при x
$$frac{-1 x log{left (3 right )}}{-1 log{left (3 right )}} = frac{1}{-1 log{left (3 right )}} left(- x log{left (3 right )} + left(x + yright) log{left (3 right )} + 2right)$$
$$x = – y – frac{2}{log{left (3 right )}}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$left(x – yright) log{left (frac{1}{3} right )} = 2$$
Получим:
$$left(- y + – y – frac{2}{log{left (3 right )}}right) log{left (frac{1}{3} right )} = 2$$
$$2 y log{left (3 right )} + 2 = 2$$
Перенесем свободное слагаемое 2 из левой части в правую со сменой знака
$$2 y log{left (3 right )} = 0$$
$$2 y log{left (3 right )} = 0$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{2 y log{left (3 right )}}{2 log{left (3 right )}} = frac{0}{2 log{left (3 right )}}$$
$$y = 0$$
Т.к.
$$x = – y – frac{2}{log{left (3 right )}}$$
то
$$x = – frac{2}{log{left (3 right )}} – 0$$
$$x = – frac{2}{log{left (3 right )}}$$

Ответ:
$$x = – frac{2}{log{left (3 right )}}$$
$$y = 0$$

-1.82047845325367

$$y_{1} = 0$$
=
$$0$$
=

0

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- x log{left (3 right )} – y log{left (3 right )} – 2 = 0$$
$$- x log{left (3 right )} + y log{left (3 right )} – 2 = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{1} left(- log{left (3 right )}right) + x_{2} left(- log{left (3 right )}right)x_{1} left(- log{left (3 right )}right) + x_{2} log{left (3 right )}end{matrix}right] = left[begin{matrix}22end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & – log{left (3 right )} – log{left (3 right )} & log{left (3 right )}end{matrix}right] right )} = – 2 log^{2}{left (3 right )}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} {det}{left (left[begin{matrix}2 & – log{left (3 right )}2 & log{left (3 right )}end{matrix}right] right )} = – frac{2}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2 log^{2}{left (3 right )}} {det}{left (left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & 2 – log{left (3 right )} & 2end{matrix}right] right )} = 0$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$- x log{left (3 right )} – y log{left (3 right )} – 2 = 0$$
$$- x log{left (3 right )} + y log{left (3 right )} – 2 = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & – log{left (3 right )} & 2 – log{left (3 right )} & log{left (3 right )} & 2end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )} – log{left (3 right )}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & – log{left (3 right )} & 2end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )} – – log{left (3 right )} & log{left (3 right )} – – log{left (3 right )} & 0end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 2 log{left (3 right )} & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & – log{left (3 right )} & 2 & 2 log{left (3 right )} & 0end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )}2 log{left (3 right )}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 2 log{left (3 right )} & 0end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & – log{left (3 right )} – – log{left (3 right )} & 2end{matrix}right] = left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & 0 & 2end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}- log{left (3 right )} & 0 & 2 & 2 log{left (3 right )} & 0end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$- x_{1} log{left (3 right )} – 2 = 0$$
$$2 x_{2} log{left (3 right )} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = – frac{2}{log{left (3 right )}}$$
$$x_{2} = 0$$

x1 = -1.820478453253675
y1 = -4.818327068121386e-23

x2 = -1.820478453253675
y2 = 4.818327068121386e-23

x3 = -1.820478453253675
y3 = 0.0