x+2*y+3*z+4*t=11 2*x+3*y+4*z+t=12 3*x+4*y+z+2*t=13 4*x+y+2*z+3*t=14

2*x + 3*y + 4*z + t = 12

3*x + 4*y + z + 2*t = 13

4*x + y + 2*z + 3*t = 14

2

$$z_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$y_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$t_{1} = 1$$
=
$$1$$
=

1

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 t + x + 2 y + 3 z = 11$$
$$t + 2 x + 3 y + 4 z = 12$$
$$2 t + 3 x + 4 y + z = 13$$
$$3 t + 4 x + y + 2 z = 14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}3 x_{4} + 2 x_{3} + 4 x_{1} + x_{2}4 x_{4} + 3 x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}x_{4} + 4 x_{3} + 2 x_{1} + 3 x_{2}2 x_{4} + x_{3} + 3 x_{1} + 4 x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}11121314end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}4 & 1 & 2 & 31 & 2 & 3 & 42 & 3 & 4 & 13 & 4 & 1 & 2end{matrix}right] right )} = -160$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = – frac{1}{160} {det}{left (left[begin{matrix}11 & 1 & 2 & 312 & 2 & 3 & 413 & 3 & 4 & 114 & 4 & 1 & 2end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{2} = – frac{1}{160} {det}{left (left[begin{matrix}4 & 11 & 2 & 31 & 12 & 3 & 42 & 13 & 4 & 13 & 14 & 1 & 2end{matrix}right] right )} = 2$$
$$x_{3} = – frac{1}{160} {det}{left (left[begin{matrix}4 & 1 & 11 & 31 & 2 & 12 & 42 & 3 & 13 & 13 & 4 & 14 & 2end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{4} = – frac{1}{160} {det}{left (left[begin{matrix}4 & 1 & 2 & 111 & 2 & 3 & 122 & 3 & 4 & 133 & 4 & 1 & 14end{matrix}right] right )} = 1$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$4 t + x + 2 y + 3 z = 11$$
$$t + 2 x + 3 y + 4 z = 12$$
$$2 t + 3 x + 4 y + z = 13$$
$$3 t + 4 x + y + 2 z = 14$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}4 & 1 & 2 & 3 & 111 & 2 & 3 & 4 & 122 & 3 & 4 & 1 & 133 & 4 & 1 & 2 & 14end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}4123end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}4 & 1 & 2 & 3 & 11end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{1}{4} + 2 & – frac{1}{2} + 3 & – frac{3}{4} + 4 & – frac{11}{4} + 12end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 1 & 2 & 3 & 11 & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4}2 & 3 & 4 & 1 & 133 & 4 & 1 & 2 & 14end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{1}{2} + 3 & 3 & – frac{3}{2} + 1 & – frac{11}{2} + 13end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{5}{2} & 3 & – frac{1}{2} & frac{15}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 1 & 2 & 3 & 11 & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4} & frac{5}{2} & 3 & – frac{1}{2} & frac{15}{2}3 & 4 & 1 & 2 & 14end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{3}{4} + 4 & – frac{3}{2} + 1 & – frac{9}{4} + 2 & – frac{33}{4} + 14end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{13}{4} & – frac{1}{2} & – frac{1}{4} & frac{23}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 1 & 2 & 3 & 11 & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4} & frac{5}{2} & 3 & – frac{1}{2} & frac{15}{2} & frac{13}{4} & – frac{1}{2} & – frac{1}{4} & frac{23}{4}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1\frac{7}{4}\frac{5}{2}\frac{13}{4}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}4 & 0 & – frac{10}{7} + 2 & – frac{13}{7} + 3 & – frac{37}{7} + 11end{matrix}right] = left[begin{matrix}4 & 0 & frac{4}{7} & frac{8}{7} & frac{40}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & frac{4}{7} & frac{8}{7} & frac{40}{7} & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4} & frac{5}{2} & 3 & – frac{1}{2} & frac{15}{2} & frac{13}{4} & – frac{1}{2} & – frac{1}{4} & frac{23}{4}end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{5}{2} + frac{5}{2} & – frac{25}{7} + 3 & – frac{65}{14} – frac{1}{2} & – frac{185}{14} + frac{15}{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & frac{4}{7} & frac{8}{7} & frac{40}{7} & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4} & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7} & frac{13}{4} & – frac{1}{2} & – frac{1}{4} & frac{23}{4}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{13}{4} + frac{13}{4} & – frac{65}{14} – frac{1}{2} & – frac{169}{28} – frac{1}{4} & – frac{481}{28} + frac{23}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{36}{7} & – frac{44}{7} & – frac{80}{7}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & frac{4}{7} & frac{8}{7} & frac{40}{7} & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4} & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7} & 0 & – frac{36}{7} & – frac{44}{7} & – frac{80}{7}end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{4}{7}\frac{5}{2} – frac{4}{7} – frac{36}{7}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}4 & 0 & – frac{4}{7} + frac{4}{7} & – frac{36}{7} + frac{8}{7} & – frac{40}{7} + frac{40}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & -4 & 0end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & -4 & 0 & frac{7}{4} & frac{5}{2} & frac{13}{4} & frac{37}{4} & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7} & 0 & – frac{36}{7} & – frac{44}{7} & – frac{80}{7}end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{7}{4} & – frac{5}{2} + frac{5}{2} & – frac{45}{2} + frac{13}{4} & – frac{63}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{7}{4} & 0 & – frac{77}{4} & – frac{63}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & -4 & 0 & frac{7}{4} & 0 & – frac{77}{4} & – frac{63}{4} & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7} & 0 & – frac{36}{7} & – frac{44}{7} & – frac{80}{7}end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{36}{7} – – frac{36}{7} & – frac{44}{7} – – frac{324}{7} & – frac{80}{7} – – frac{360}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 40 & 40end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & -4 & 0 & frac{7}{4} & 0 & – frac{77}{4} & – frac{63}{4} & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7} & 0 & 0 & 40 & 40end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}-4 – frac{77}{4} – frac{36}{7}40end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 40 & 40end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 & 4end{matrix}right] = left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 & 4end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 & 4 & frac{7}{4} & 0 & – frac{77}{4} & – frac{63}{4} & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7} & 0 & 0 & 40 & 40end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & frac{7}{4} & 0 & – frac{77}{4} – – frac{77}{4} & – frac{63}{4} – – frac{77}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{7}{4} & 0 & 0 & frac{7}{2}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 & 4 & frac{7}{4} & 0 & 0 & frac{7}{2} & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} & – frac{40}{7} & 0 & 0 & 40 & 40end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{4}{7} & – frac{36}{7} – – frac{36}{7} & – frac{40}{7} – – frac{36}{7}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & – frac{4}{7} & 0 & – frac{4}{7}end{matrix}right]$$
по
лучаем
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 0 & 0 & 4 & frac{7}{4} & 0 & 0 & frac{7}{2} & 0 & – frac{4}{7} & 0 & – frac{4}{7} & 0 & 0 & 40 & 40end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$4 x_{1} – 4 = 0$$
$$frac{7 x_{2}}{4} – frac{7}{2} = 0$$
$$- frac{4 x_{3}}{7} + frac{4}{7} = 0$$
$$40 x_{4} – 40 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = 1$$
$$x_{4} = 1$$

t1 = 1.00000000000000
x1 = 2.00000000000000
y1 = 1.00000000000000
z1 = 1.00000000000000