x+y+1/4=0 x*e+y*1/e-1/4=1/e

y 1 1
x*E + – – – = –
E 4 E

Из 1-го ур-ния выразим x
$$x + y + frac{1}{4} = 0$$
Перенесем слагаемое с переменной y из левой части в правую со сменой знака
$$x + frac{1}{4} = – y$$
$$x + frac{1}{4} = – y$$
Перенесем свободное слагаемое 1/4 из левой части в правую со сменой знака
$$x = – y – frac{1}{4}$$
$$x = – y – frac{1}{4}$$
Подставим найденное x в 2-е ур-ние
$$e x + frac{y}{e} – frac{1}{4} = frac{1}{e}$$
Получим:
$$frac{y}{e} + e left(- y – frac{1}{4}right) – frac{1}{4} = frac{1}{e}$$
$$- e y + frac{y}{e} – frac{e}{4} – frac{1}{4} = e^{-1}$$
Перенесем свободное слагаемое -1/4 – E/4 из левой части в правую со сменой знака
$$- e y + frac{y}{e} = e^{-1} + frac{1}{4} – – frac{e}{4}$$
$$- e y + frac{y}{e} = frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}$$
Разделим обе части ур-ния на множитель при y
$$frac{- e y + frac{y}{e}}{- e + e^{-1}} = frac{frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}}{- e + e^{-1}}$$
$$y = frac{- e left(1 + eright) – 4}{-4 + 4 e^{2}}$$
Т.к.
$$x = – y – frac{1}{4}$$
то
$$x = – frac{1}{4} – frac{- e left(1 + eright) – 4}{-4 + 4 e^{2}}$$
$$x = frac{e + 5}{-4 + 4 e^{2}}$$

Ответ:
$$x = frac{e + 5}{-4 + 4 e^{2}}$$
$$y = frac{- e left(1 + eright) – 4}{-4 + 4 e^{2}}$$

0.302011819466997

$$y_{1} = frac{e + 4 + e^{2}}{- 4 e^{2} + 4}$$
=
$$frac{e + 4 + e^{2}}{- 4 e^{2} + 4}$$
=

-0.552011819466997

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = – frac{1}{4}$$
$$e x + frac{y}{e} – e^{-1} – frac{1}{4} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}x_{1} + x_{2}e x_{1} + frac{x_{2}}{e}end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{1}{4}\frac{1}{4} + e^{-1}end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 1e & e^{-1}end{matrix}right] right )} = – e + e^{-1}$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{- e + e^{-1}} {det}{left (left[begin{matrix}- frac{1}{4} & 1\frac{1}{4} + e^{-1} & e^{-1}end{matrix}right] right )} = – frac{1}{4} – frac{frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}}{- e + e^{-1}}$$
=
$$frac{e + 5}{-4 + 4 e^{2}}$$
$$x_{2} = frac{1}{- e + e^{-1}} {det}{left (left[begin{matrix}1 & – frac{1}{4}e & frac{1}{4} + e^{-1}end{matrix}right] right )} = frac{frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}}{- e + e^{-1}}$$
=
$$frac{- e left(1 + eright) – 4}{-4 + 4 e^{2}}$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x + y = – frac{1}{4}$$
$$e x + frac{y}{e} – e^{-1} – frac{1}{4} = 0$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 1 & – frac{1}{4}e & e^{-1} & frac{1}{4} + e^{-1}end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1eend{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 1 & – frac{1}{4}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- e + e & – e + e^{-1} & frac{1}{4} + e^{-1} – – frac{e}{4}end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – e + e^{-1} & frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 1 & – frac{1}{4} & – e + e^{-1} & frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 – e + e^{-1}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & – e + e^{-1} & frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- 0 + 1 & – 1 + 1 & – frac{1}{4} – frac{frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}}{- e + e^{-1}}end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{4} – frac{frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}}{- e + e^{-1}}end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 0 & – frac{1}{4} – frac{frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}}{- e + e^{-1}} & – e + e^{-1} & frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{1} + frac{frac{1}{4} + e^{-1} + frac{e}{4}}{- e + e^{-1}} + frac{1}{4} = 0$$
$$x_{2} left(- e + e^{-1}right) – frac{e}{4} – e^{-1} – frac{1}{4} = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{1} = frac{e + 5}{-4 + 4 e^{2}}$$
$$x_{2} = frac{e + 4 + e^{2}}{- 4 e^{2} + 4}$$

x1 = 0.3020118194669973
y1 = -0.5520118194669973