x1+2*x2+x3=8 x2+3*x3+x4=15 4*x1+x3+x4=11 x1+x2+5*x4=23

x2 + 3*x3 + x4 = 15

4*x1 + x3 + x4 = 11

x1 + x2 + 5*x4 = 23

3

$$x_{41} = 4$$
=
$$4$$
=

4

$$x_{11} = 1$$
=
$$1$$
=

1

$$x_{21} = 2$$
=
$$2$$
=

2

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 8$$
$$x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} = 15$$
$$4 x_{1} + x_{3} + x_{4} = 11$$
$$x_{1} + x_{2} + 5 x_{4} = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}0 x_{4} + x_{3} + x_{1} + 2 x_{2}x_{4} + 3 x_{3} + 0 x_{1} + x_{2}x_{4} + x_{3} + 4 x_{1} + 0 x_{2}5 x_{4} + 0 x_{3} + x_{1} + x_{2}end{matrix}right] = left[begin{matrix}8151123end{matrix}right]$$
– это есть система уравнений, имеющая форму
A*x = B

Решение такого матричного ур-ния методом Крамера найдём так:

Т.к. определитель матрицы:
$$A = {det}{left (left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 1 & 3 & 14 & 0 & 1 & 11 & 1 & 0 & 5end{matrix}right] right )} = 108$$
, то
Корень xi получается делением определителя матрицы Ai. на определитель матрицы A.
( Ai получаем заменой в матрице A i-го столбца на столбец B )
$$x_{1} = frac{1}{108} {det}{left (left[begin{matrix}8 & 2 & 1 & 015 & 1 & 3 & 111 & 0 & 1 & 123 & 1 & 0 & 5end{matrix}right] right )} = 1$$
$$x_{2} = frac{1}{108} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 8 & 1 & 0 & 15 & 3 & 14 & 11 & 1 & 11 & 23 & 0 & 5end{matrix}right] right )} = 2$$
$$x_{3} = frac{1}{108} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 2 & 8 & 0 & 1 & 15 & 14 & 0 & 11 & 11 & 1 & 23 & 5end{matrix}right] right )} = 3$$
$$x_{4} = frac{1}{108} {det}{left (left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 8 & 1 & 3 & 154 & 0 & 1 & 111 & 1 & 0 & 23end{matrix}right] right )} = 4$$

Приведём систему ур-ний к каноническому виду
$$x_{1} + 2 x_{2} + x_{3} = 8$$
$$x_{2} + 3 x_{3} + x_{4} = 15$$
$$4 x_{1} + x_{3} + x_{4} = 11$$
$$x_{1} + x_{2} + 5 x_{4} = 23$$
Запишем систему линейных ур-ний в матричном виде
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 & 1 & 3 & 1 & 154 & 0 & 1 & 1 & 111 & 1 & 0 & 5 & 23end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}141end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -8 & -3 & 1 & -21end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -8 & -3 & 1 & -21end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 & 1 & 3 & 1 & 15 & -8 & -3 & 1 & -211 & 1 & 0 & 5 & 23end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -1 & -1 & 5 & 15end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & -1 & -1 & 5 & 15end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 & 1 & 3 & 1 & 15 & -8 & -3 & 1 & -21 & -1 & -1 & 5 & 15end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}21 -8 -1end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{1}{2} & 0 & – frac{1}{2} + 3 & 1 & 11end{matrix}right] = left[begin{matrix}- frac{1}{2} & 0 & frac{5}{2} & 1 & 11end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 – frac{1}{2} & 0 & frac{5}{2} & 1 & 11 & -8 & -3 & 1 & -21 & -1 & -1 & 5 & 15end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}4 & 0 & 1 & 1 & 11end{matrix}right] = left[begin{matrix}4 & 0 & 1 & 1 & 11end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 – frac{1}{2} & 0 & frac{5}{2} & 1 & 114 & 0 & 1 & 1 & 11 & -1 & -1 & 5 & 15end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{-1}{2} & 0 & -1 – – frac{1}{2} & 5 & 19end{matrix}right] = left[begin{matrix}frac{1}{2} & 0 & – frac{1}{2} & 5 & 19end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 – frac{1}{2} & 0 & frac{5}{2} & 1 & 114 & 0 & 1 & 1 & 11\frac{1}{2} & 0 & – frac{1}{2} & 5 & 19end{matrix}right]$$
В 3 ом столбце
$$left[begin{matrix}1\frac{5}{2}1 – frac{1}{2}end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
1 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 1 ую строку
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}- frac{5}{2} – frac{1}{2} & -5 & – frac{5}{2} + frac{5}{2} & 1 & -9end{matrix}right] = left[begin{matrix}-3 & -5 & 0 & 1 & -9end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 -3 & -5 & 0 & 1 & -94 & 0 & 1 & 1 & 11\frac{1}{2} & 0 & – frac{1}{2} & 5 & 19end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}3 & -2 & 0 & 1 & 3end{matrix}right] = left[begin{matrix}3 & -2 & 0 & 1 & 3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 -3 & -5 & 0 & 1 & -93 & -2 & 0 & 1 & 3\frac{1}{2} & 0 & – frac{1}{2} & 5 & 19end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}frac{1}{2} – – frac{1}{2} & 1 & – frac{1}{2} – – frac{1}{2} & 5 & 23end{matrix}right] = left[begin{matrix}1 & 1 & 0 & 5 & 23end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 -3 & -5 & 0 & 1 & -93 & -2 & 0 & 1 & 31 & 1 & 0 & 5 & 23end{matrix}right]$$
В 4 ом столбце
$$left[begin{matrix}0115end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
2 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 2 ую строку
$$left[begin{matrix}-3 & -5 & 0 & 1 & -9end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}6 & 3 & 0 & 0 & 12end{matrix}right] = left[begin{matrix}6 & 3 & 0 & 0 & 12end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 -3 & -5 & 0 & 1 & -96 & 3 & 0 & 0 & 121 & 1 & 0 & 5 & 23end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}16 & 26 & 0 & 0 & 68end{matrix}right] = left[begin{matrix}16 & 26 & 0 & 0 & 68end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}1 & 2 & 1 & 0 & 8 -3 & -5 & 0 & 1 & -96 & 3 & 0 & 0 & 1216 & 26 & 0 & 0 & 68end{matrix}right]$$
В 1 ом столбце
$$left[begin{matrix}1 -3616end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
3 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 3 ую строку
$$left[begin{matrix}6 & 3 & 0 & 0 & 12end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{1}{2} + 2 & 1 & 0 & 6end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & frac{3}{2} & 1 & 0 & 6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{3}{2} & 1 & 0 & 6 -3 & -5 & 0 & 1 & -96 & 3 & 0 & 0 & 1216 & 26 & 0 & 0 & 68end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & -5 – – frac{3}{2} & 0 & 1 & -3end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & – frac{7}{2} & 0 & 1 & -3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{3}{2} & 1 & 0 & 6 & – frac{7}{2} & 0 & 1 & -36 & 3 & 0 & 0 & 1216 & 26 & 0 & 0 & 68end{matrix}right]$$
Из 4 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 36end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 36end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & frac{3}{2} & 1 & 0 & 6 & – frac{7}{2} & 0 & 1 & -36 & 3 & 0 & 0 & 12 & 18 & 0 & 0 & 36end{matrix}right]$$
Во 2 ом столбце
$$left[begin{matrix}frac{3}{2} – frac{7}{2}318end{matrix}right]$$
делаем так, чтобы все элементы, кроме
4 го элемента равнялись нулю.
– Для этого берём 4 ую строку
$$left[begin{matrix}0 & 18 & 0 & 0 & 36end{matrix}right]$$
,
и будем вычитать ее из других строк:
Из 1 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{3}{2} + frac{3}{2} & 1 & 0 & 3end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 3end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 3 & – frac{7}{2} & 0 & 1 & -36 & 3 & 0 & 0 & 12 & 18 & 0 & 0 & 36end{matrix}right]$$
Из 2 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}0 & – frac{7}{2} – – frac{7}{2} & 0 & 1 & 4end{matrix}right] = left[begin{matrix}0 & 0 & 0 & 1 & 4end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 &
0 & 1 & 46 & 3 & 0 & 0 & 12 & 18 & 0 & 0 & 36end{matrix}right]$$
Из 3 ой строки вычитаем:
$$left[begin{matrix}6 & 0 & 0 & 0 & 6end{matrix}right] = left[begin{matrix}6 & 0 & 0 & 0 & 6end{matrix}right]$$
получаем
$$left[begin{matrix}0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & 0 & 1 & 46 & 0 & 0 & 0 & 6 & 18 & 0 & 0 & 36end{matrix}right]$$

Все почти готово – осталось только найти неизвестные, решая элементарные ур-ния:
$$x_{3} – 3 = 0$$
$$x_{4} – 4 = 0$$
$$6 x_{1} – 6 = 0$$
$$18 x_{2} – 36 = 0$$
Получаем ответ:
$$x_{3} = 3$$
$$x_{4} = 4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = 2$$

x11 = 1.00000000000000
x21 = 2.00000000000000
x31 = 3.00000000000000
x41 = 4.00000000000000