2^sin(x)^(2)=3

$$2^{sin^{2}{left (x right )}} = 3$$

Дано уравнение
$$2^{sin^{2}{left (x right )}} = 3$$
преобразуем
$$2^{sin^{2}{left (x right )}} – 3 = 0$$
$$2^{- frac{1}{2} cos{left (2 x right )} + frac{1}{2}} – 3 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (2 x right )}$$
$$2^{- frac{w}{2} + frac{1}{2}} – 3 = 0$$
или
$$2^{- frac{w}{2} + frac{1}{2}} – 3 = 0$$
или
$$sqrt{2} left(frac{sqrt{2}}{2}right)^{w} = 3$$
или
$$left(frac{sqrt{2}}{2}right)^{w} = frac{3 sqrt{2}}{2}$$
– это простейшее показательное ур-ние
Сделаем замену
$$v = left(frac{sqrt{2}}{2}right)^{w}$$
получим
$$v – frac{3 sqrt{2}}{2} = 0$$
или
$$v – frac{3 sqrt{2}}{2} = 0$$
Раскрываем скобочки в левой части ур-ния

v – 3*sqrt2/2 = 0

Разделим обе части ур-ния на (v – 3*sqrt(2)/2)/v

v = 0 / ((v – 3*sqrt(2)/2)/v)

Получим ответ: v = 3*sqrt(2)/2
делаем обратную замену
$$left(frac{sqrt{2}}{2}right)^{w} = v$$
или
$$w = frac{log{left (v right )}}{log{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$w_{1} = frac{log{left (frac{3 sqrt{2}}{2} right )}}{log{left (frac{sqrt{2}}{2} right )}} = – frac{log{left (9 right )}}{log{left (2 right )}} + 1$$
делаем обратную замену
$$cos{left (2 x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (2 x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$2 x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$2 x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$2 x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$2 x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
Разделим обе части полученного ур-ния на
$$2$$
подставляем w:
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{1}{2} {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{1}{2} {acos}{left (- frac{log{left (9 right )}}{log{left (2 right )}} + 1 right )}$$
$$x_{1} = frac{pi n}{2} + frac{1}{2} {acos}{left (- frac{log{left (9 right )}}{log{left (2 right )}} + 1 right )}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} + frac{1}{2} {acos}{left (w_{1} right )} – frac{pi}{2}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{2} + frac{1}{2} {acos}{left (- frac{log{left (9 right )}}{log{left (2 right )}} + 1 right )}$$
$$x_{2} = frac{pi n}{2} – frac{pi}{2} + frac{1}{2} {acos}{left (- frac{log{left (9 right )}}{log{left (2 right )}} + 1 right )}$$

$$x_{1} = – Re{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)} + pi – i Im{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)}$$

/ / ________ / / ________
| |/ log(3) || | |/ log(3) ||
x2 = pi + I*im|asin|———-|| + re|asin|———-||
| | ________|| | | ________||
/ log(2) // / log(2) //

$$x_{2} = Re{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)} + pi + i Im{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)}$$

/ / ________ / / ________
| |/ log(3) || | |/ log(3) ||
x3 = – re|asin|———-|| – I*im|asin|———-||
| | ________|| | | ________||
/ log(2) // / log(2) //

$$x_{3} = – Re{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)} – i Im{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)}$$

/ / ________ / / ________
| |/ log(3) || | |/ log(3) ||
x4 = I*im|asin|———-|| + re|asin|———-||
| | ________|| | | ________||
/ log(2) // / log(2) //

$$x_{4} = Re{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)} + i Im{left({asin}{left (frac{sqrt{log{left (3 right )}}}{sqrt{log{left (2 right )}}} right )}right)}$$

x1 = 1.5707963267949 + 0.704967717352477*i

x2 = 4.71238898038469 – 0.704967717352477*i

x3 = -1.5707963267949 + 0.704967717352477*i

x4 = 1.5707963267949 – 0.704967717352477*i