4^x+2*2^x-80=0

$$2 cdot 2^{x} + 4^{x} – 80 = 0$$

Дано уравнение:
$$2 cdot 2^{x} + 4^{x} – 80 = 0$$
или
$$2 cdot 2^{x} + 4^{x} – 80 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 2^{x}$$
получим
$$v^{2} + 2 v – 80 = 0$$
или
$$v^{2} + 2 v – 80 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -80$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(2)^2 – 4 * (1) * (-80) = 324

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 8$$
$$v_{2} = -10$$
делаем обратную замену
$$2^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (2 right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = frac{log{left (8 right )}}{log{left (2 right )}} = 3$$
$$x_{2} = frac{log{left (-10 right )}}{log{left (2 right )}} = frac{log{left (10 right )} + i pi}{log{left (2 right )}}$$

$$x_{1} = 3$$

log(10) pi*I
x2 = ——- + ——
log(2) log(2)

$$x_{2} = frac{log{left (10 right )}}{log{left (2 right )}} + frac{i pi}{log{left (2 right )}}$$

x1 = 3.00000000000000

x2 = 3.32192809488736 + 4.53236014182719*i