64^x-8^x-56=0

$$64^{x} – 8^{x} – 56 = 0$$

Дано уравнение:
$$64^{x} – 8^{x} – 56 = 0$$
или
$$64^{x} – 8^{x} – 56 = 0$$
Сделаем замену
$$v = 8^{x}$$
получим
$$v^{2} – v – 56 = 0$$
или
$$v^{2} – v – 56 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = -56$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-1)^2 – 4 * (1) * (-56) = 225

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$v_{1} = 8$$
$$v_{2} = -7$$
делаем обратную замену
$$8^{x} = v$$
или
$$x = frac{log{left (v right )}}{log{left (8 right )}}$$
Тогда, окончательный ответ
$$x_{1} = frac{log{left (8 right )}}{log{left (8 right )}} = 1$$
$$x_{2} = frac{log{left (-7 right )}}{log{left (8 right )}} = frac{log{left (7 right )} + i pi}{log{left (8 right )}}$$

$$x_{1} = 1$$

log(7) pi*I
x2 = ——– + ——
3*log(2) log(2)

$$x_{2} = frac{log{left (7 right )}}{3 log{left (2 right )}} + frac{i pi}{log{left (2 right )}}$$

/3 ___
log/ 7 / pi*I
x3 = ———- – ——–
log(2) 3*log(2)

$$x_{3} = frac{log{left (sqrt[3]{7} right )}}{log{left (2 right )}} – frac{i pi}{3 log{left (2 right )}}$$

/3 ___
log/ 7 / pi*I
x4 = ———- + ——–
log(2) 3*log(2)

$$x_{4} = frac{log{left (sqrt[3]{7} right )}}{log{left (2 right )}} + frac{i pi}{3 log{left (2 right )}}$$

2*pi*I
x5 = 1 – ——–
3*log(2)

$$x_{5} = 1 – frac{2 i pi}{3 log{left (2 right )}}$$

2*pi*I
x6 = 1 + ——–
3*log(2)

$$x_{6} = 1 + frac{2 i pi}{3 log{left (2 right )}}$$

x1 = 1.00000000000000

x2 = 0.935784974019201 + 4.53236014182719*i

x3 = 0.935784974019201 – 1.5107867139424*i

x4 = 0.935784974019201 + 1.5107867139424*i

x5 = 1.0 – 3.0215734278848*i

x6 = 1.0 + 3.0215734278848*i