7*cos(x)^(2)-cos(x)-8=0

$$7 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 8 = 0$$

Дано уравнение
$$7 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 8 = 0$$
преобразуем
$$7 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 8 = 0$$
$$7 cos^{2}{left (x right )} – cos{left (x right )} – 8 = 0$$
Сделаем замену
$$w = cos{left (x right )}$$
Это уравнение вида

a*w^2 + b*w + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$w_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$w_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 7$$
$$b = -1$$
$$c = -8$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-1)^2 – 4 * (7) * (-8) = 225

Т.к. D > 0, то уравнение имеет два корня.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$w_{1} = frac{8}{7}$$
$$w_{2} = -1$$
делаем обратную замену
$$cos{left (x right )} = w$$
Дано уравнение
$$cos{left (x right )} = w$$
– это простейшее тригонометрическое ур-ние
Это ур-ние преобразуется в
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
Или
$$x = pi n + {acos}{left (w right )}$$
$$x = pi n + {acos}{left (w right )} – pi$$
, где n – любое целое число
подставляем w:
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{8}{7} right )}$$
$$x_{1} = pi n + {acos}{left (frac{8}{7} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )}$$
$$x_{2} = pi n + {acos}{left (-1 right )}$$
$$x_{2} = pi n + pi$$
$$x_{3} = pi n + {acos}{left (w_{1} right )} – pi$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (frac{8}{7} right )}$$
$$x_{3} = pi n – pi + {acos}{left (frac{8}{7} right )}$$
$$x_{4} = pi n + {acos}{left (w_{2} right )} – pi$$
$$x_{4} = pi n – pi + {acos}{left (-1 right )}$$
$$x_{4} = pi n$$

$$x_{1} = pi$$

x2 = -re(acos(8/7)) + 2*pi – I*im(acos(8/7))

$$x_{2} = – Re{left({acos}{left (frac{8}{7} right )}right)} + 2 pi – i Im{left({acos}{left (frac{8}{7} right )}right)}$$

x3 = I*im(acos(8/7)) + re(acos(8/7))

$$x_{3} = Re{left({acos}{left (frac{8}{7} right )}right)} + i Im{left({acos}{left (frac{8}{7} right )}right)}$$

x1 = 91.1061867133000

x2 = 15.7079634414000

x3 = 59.6902605986000

x4 = 53.4070753675000

x5 = -53.4070752844000

x6 = 84.8230012414000

x7 = -59.6902604577000

x8 = -84.8230013946000

x9 = 72.2566310277000

x10 = -72.2566308736000

x11 = 3.14159289609000

x12 = -15.7079632965000

x13 = -65.9734457650000

x14 = -91.1061870236000

x15 = 91.1061871827000

x16 = 47.1238900400000

x17 = -40.8407042488000

x18 = 78.5398161873000

x19 = 47.1238895688000

x20 = 9.42477835326000

x21 = 40.8407042522000

x22 = -84.8230018569000

x23 = 34.5575190299000

x24 = -34.5575189386000

x25 = 84.8230014058000

x26 = -78.5398160922000

x27 = -40.8407047164000

x28 = 97.3893725200000

x29 = -3.14159290108000

x30 = 97.3893724611000

x31 = -21.9911485865000

x32 = 3.14159266544000

x33 = 21.9911485852000

x34 = -28.2743337159000

x35 = -47.1238900540000

x36 = 65.9734457529000

x37 = 9.42477821458000

x38 = -3.14159286370000

x39 = 53.4070753999000

x40 = 3.14159242552000

x41 = -9.42477812738000

x42 = 40.8407041959000

x43 = -47.1238899374000

x44 = 28.2743338652000

x45 = -97.3893724413000

x46 = -91.1061872066000