(x-10)^7=1

$$left(x – 10right)^{7} = 1$$

Дано уравнение
$$left(x – 10right)^{7} = 1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 7 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 7-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[7]{left(x – 10right)^{7}} = sqrt[7]{1}$$
или
$$x – 10 = 1$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 11$$
Получим ответ: x = 11

Остальные 6 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x – 10$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{7} = 1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{7} e^{7 i p} = 1$$
где
$$r = 1$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{7 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (7 p right )} + cos{left (7 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (7 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (7 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{7} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 1$$
$$z_{2} = – cos{left (frac{pi}{7} right )} – i sin{left (frac{pi}{7} right )}$$
$$z_{3} = – cos{left (frac{pi}{7} right )} + i sin{left (frac{pi}{7} right )}$$
$$z_{4} = cos{left (frac{2 pi}{7} right )} – i sin{left (frac{2 pi}{7} right )}$$
$$z_{5} = cos{left (frac{2 pi}{7} right )} + i sin{left (frac{2 pi}{7} right )}$$
$$z_{6} = – cos{left (frac{3 pi}{7} right )} – i sin{left (frac{3 pi}{7} right )}$$
$$z_{7} = – cos{left (frac{3 pi}{7} right )} + i sin{left (frac{3 pi}{7} right )}$$
делаем обратную замену
$$z = x – 10$$
$$x = z + 10$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = – cos{left (frac{pi}{7} right )} + 10 – i sin{left (frac{pi}{7} right )}$$
$$x_{3} = – cos{left (frac{pi}{7} right )} + 10 + i sin{left (frac{pi}{7} right )}$$
$$x_{4} = cos{left (frac{2 pi}{7} right )} + 10 – i sin{left (frac{2 pi}{7} right )}$$
$$x_{5} = cos{left (frac{2 pi}{7} right )} + 10 + i sin{left (frac{2 pi}{7} right )}$$
$$x_{6} = – cos{left (frac{3 pi}{7} right )} + 10 – i sin{left (frac{3 pi}{7} right )}$$
$$x_{7} = – cos{left (frac{3 pi}{7} right )} + 10 + i sin{left (frac{3 pi}{7} right )}$$

$$x_{1} = 11$$

x2 = 9.09903113209758 – 0.433883739117558*I

$$x_{2} = 9.09903113209758 – 0.433883739117558 i$$

x3 = 9.09903113209758 + 0.433883739117558*I

$$x_{3} = 9.09903113209758 + 0.433883739117558 i$$

x4 = 9.77747906604369 – 0.974927912181824*I

$$x_{4} = 9.77747906604369 – 0.974927912181824 i$$

x5 = 9.77747906604369 + 0.974927912181824*I

$$x_{5} = 9.77747906604369 + 0.974927912181824 i$$

x6 = 10.6234898018587 – 0.78183148246803*I

$$x_{6} = 10.6234898018587 – 0.78183148246803 i$$

x7 = 10.6234898018587 + 0.78183148246803*I

$$x_{7} = 10.6234898018587 + 0.78183148246803 i$$

x1 = 10.6234898019 + 0.781831482468*i

x2 = 10.6234898019 – 0.781831482468*i

x3 = 9.0990311321 + 0.433883739118*i

x4 = 9.77747906604 + 0.974927912182*i

x5 = 9.77747906604 – 0.974927912182*i

x6 = 11.0000000000000

x7 = 9.0990311321 – 0.433883739118*i