(x+2)^5=32

$$left(x + 2right)^{5} = 32$$

Дано уравнение
$$left(x + 2right)^{5} = 32$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 5 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 5-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[5]{left(x + 2right)^{5}} = sqrt[5]{32}$$
или
$$x + 2 = 2$$
Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 0$$
Получим ответ: x = 0

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x + 2$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{5} = 32$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{5} e^{5 i p} = 32$$
где
$$r = 2$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{5 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (5 p right )} + cos{left (5 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (5 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (5 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{5} N$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = 2$$
$$z_{2} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} – 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{3} = – frac{1}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{4} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} – 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$z_{5} = – frac{sqrt{5}}{2} – frac{1}{2} + 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
делаем обратную замену
$$z = x + 2$$
$$x = z – 2$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = – frac{5}{2} + frac{sqrt{5}}{2} – 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{3} = – frac{5}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + 2 i sqrt{frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{4} = – frac{5}{2} – frac{sqrt{5}}{2} – 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$
$$x_{5} = – frac{5}{2} – frac{sqrt{5}}{2} + 2 i sqrt{- frac{sqrt{5}}{8} + frac{5}{8}}$$

$$x_{1} = 0$$

_____________
/ ___ ___
5 / 5 / 5 / 5
x2 = – – – 2* / – – + —– – —–
2 / 8 8 2

$$x_{2} = – frac{5}{2} – frac{sqrt{5}}{2} – 2 sqrt{- frac{5}{8} + frac{sqrt{5}}{8}}$$

_____________
/ ___ ___
5 / 5 / 5 / 5
x3 = – – + 2* / – – + —– – —–
2 / 8 8 2

$$x_{3} = – frac{5}{2} – frac{sqrt{5}}{2} + 2 sqrt{- frac{5}{8} + frac{sqrt{5}}{8}}$$

_____________
___ / ___
5 / 5 / 5 / 5
x4 = – – + —– – 2* / – – – —–
2 2 / 8 8

$$x_{4} = – frac{5}{2} + frac{sqrt{5}}{2} – 2 sqrt{- frac{5}{8} – frac{sqrt{5}}{8}}$$

_____________
___ / ___
5 / 5 / 5 / 5
x5 = – – + —– + 2* / – – – —–
2 2 / 8 8

$$x_{5} = – frac{5}{2} + frac{sqrt{5}}{2} + 2 sqrt{- frac{5}{8} – frac{sqrt{5}}{8}}$$

x1 = 0.0

x2 = -3.61803398875 + 1.17557050458*i

x3 = -1.38196601125 + 1.90211303259*i

x4 = -3.61803398875 – 1.17557050458*i

x5 = -1.38196601125 – 1.90211303259*i