(x-3/2)^3=-125

$$left(x – frac{3}{2}right)^{3} = -125$$

Дано уравнение
$$left(x – frac{3}{2}right)^{3} = -125$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{left(x – frac{3}{2}right)^{3}} = sqrt[3]{-125}$$
или
$$x – frac{3}{2} = 5 sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-3/2 + x = -5*1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = frac{3}{2} + 5 sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = 3/2 + 5*(-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x – frac{3}{2}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -125$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -125$$
где
$$r = 5$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N + frac{pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -5$$
$$z_{2} = frac{5}{2} – frac{5 i}{2} sqrt{3}$$
$$z_{3} = frac{5}{2} + frac{5 i}{2} sqrt{3}$$
делаем обратную замену
$$z = x – frac{3}{2}$$
$$x = z + frac{3}{2}$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – frac{7}{2}$$
$$x_{2} = 4 – frac{5 i}{2} sqrt{3}$$
$$x_{3} = 4 + frac{5 i}{2} sqrt{3}$$

$$x_{1} = – frac{7}{2}$$

___
5*I*/ 3
x2 = 4 – ———
2

$$x_{2} = 4 – frac{5 i}{2} sqrt{3}$$

___
5*I*/ 3
x3 = 4 + ———
2

$$x_{3} = 4 + frac{5 i}{2} sqrt{3}$$

x1 = -3.50000000000000

x2 = 4.0 – 4.33012701892*i

x3 = 4.0 + 4.33012701892*i