(x-7)^3=-1

$$left(x – 7right)^{3} = -1$$

Дано уравнение
$$left(x – 7right)^{3} = -1$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{left(x – 7right)^{3}} = sqrt[3]{-1}$$
или
$$x – 7 = sqrt[3]{-1}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

-7 + x = -1^1/3

Переносим свободные слагаемые (без x)
из левой части в правую, получим:
$$x = 7 + sqrt[3]{-1}$$
Получим ответ: x = 7 + (-1)^(1/3)

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x – 7$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{3} = -1$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = -1$$
где
$$r = 1$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (3 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N + frac{pi}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -1$$
$$z_{2} = frac{1}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$z_{3} = frac{1}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$z = x – 7$$
$$x = z + 7$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = 6$$
$$x_{2} = frac{15}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{3} = frac{15}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$

$$x_{1} = 6$$

___
15 I*/ 3
x2 = — – ——-
2 2

$$x_{2} = frac{15}{2} – frac{sqrt{3} i}{2}$$

___
15 I*/ 3
x3 = — + ——-
2 2

$$x_{3} = frac{15}{2} + frac{sqrt{3} i}{2}$$

x1 = 7.5 – 0.866025403784*i

x2 = 6.00000000000000

x3 = 7.5 + 0.866025403784*i