x^2-x-q=0

$$- q + x^{2} – x = 0$$

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = – q$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-1)^2 – 4 * (1) * (-q) = 1 + 4*q

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{4 q + 1} + frac{1}{2}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{4 q + 1} + frac{1}{2}$$

____________________________ ____________________________
4 / 2 2 /atan2(4*im(q), 1 + 4*re(q)) 4 / 2 2 /atan2(4*im(q), 1 + 4*re(q))
/ (1 + 4*re(q)) + 16*im (q) *cos|—————————| I*/ (1 + 4*re(q)) + 16*im (q) *sin|—————————|
1 2 / 2 /
x1 = – – —————————————————————- – ——————————————————————
2 2 2

$$x_{1} = – frac{i}{2} sqrt[4]{left(4 Re{q} + 1right)^{2} + 16 left(Im{q}right)^{2}} sin{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (4 Im{q},4 Re{q} + 1 right )} right )} – frac{1}{2} sqrt[4]{left(4 Re{q} + 1right)^{2} + 16 left(Im{q}right)^{2}} cos{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (4 Im{q},4 Re{q} + 1 right )} right )} + frac{1}{2}$$

____________________________ ____________________________
4 / 2 2 /atan2(4*im(q), 1 + 4*re(q)) 4 / 2 2 /atan2(4*im(q), 1 + 4*re(q))
/ (1 + 4*re(q)) + 16*im (q) *cos|—————————| I*/ (1 + 4*re(q)) + 16*im (q) *sin|—————————|
1 2 / 2 /
x2 = – + —————————————————————- + ——————————————————————
2 2 2

$$x_{2} = frac{i}{2} sqrt[4]{left(4 Re{q} + 1right)^{2} + 16 left(Im{q}right)^{2}} sin{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (4 Im{q},4 Re{q} + 1 right )} right )} + frac{1}{2} sqrt[4]{left(4 Re{q} + 1right)^{2} + 16 left(Im{q}right)^{2}} cos{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (4 Im{q},4 Re{q} + 1 right )} right )} + frac{1}{2}$$