x^2+y^2+4*y-5=0

$$4 y + x^{2} + y^{2} – 5 = 0$$

Это уравнение вида

a*x^2 + b*x + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$x_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$x_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = y^{2} + 4 y – 5$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(0)^2 – 4 * (1) * (-5 + y^2 + 4*y) = 20 – 16*y – 4*y^2

Уравнение имеет два корня.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b – sqrt(D)) / (2*a)

или
$$x_{1} = frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} – 16 y + 20}$$
$$x_{2} = – frac{1}{2} sqrt{- 4 y^{2} – 16 y + 20}$$

$$x_{1} = – i sqrt[4]{left(- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y}right)^{2} + left(- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5right)^{2}} sin{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y},- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5 right )} right )} – sqrt[4]{left(- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y}right)^{2} + left(- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5right)^{2}} cos{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y},- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5 right )} right )}$$

________________________________________________________________ ________________________________________________________________
/ 2 / / 2 2 / 2 / / 2 2
4 / 2 / 2 2 |atan2 -4*im(y) – 2*im(y)*re(y), 5 + im (y) – re (y) – 4*re(y)/| 4 / 2 / 2 2 |atan2 -4*im(y) – 2*im(y)*re(y), 5 + im (y) – re (y) – 4*re(y)/|
x2 = / (-4*im(y) – 2*im(y)*re(y)) + 5 + im (y) – re (y) – 4*re(y)/ *cos|————————————————————–| + I*/ (-4*im(y) – 2*im(y)*re(y)) + 5 + im (y) – re (y) – 4*re(y)/ *sin|————————————————————–|
2 / 2 /

$$x_{2} = i sqrt[4]{left(- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y}right)^{2} + left(- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5right)^{2}} sin{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y},- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5 right )} right )} + sqrt[4]{left(- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y}right)^{2} + left(- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5right)^{2}} cos{left (frac{1}{2} {atan_{2}}{left (- 2 Re{y} Im{y} – 4 Im{y},- left(Re{y}right)^{2} – 4 Re{y} + left(Im{y}right)^{2} + 5 right )} right )}$$