x^4-81=0

$$x^{4} – 81 = 0$$

Дано уравнение
$$x^{4} – 81 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 – содержит чётное число 4 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 4-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[4]{x^{4}} = sqrt[4]{81}$$
$$sqrt[4]{x^{4}} = -1 sqrt[4]{81}$$
или
$$x = 3$$
$$x = -3$$
Получим ответ: x = 3
Получим ответ: x = -3
или
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$

Остальные 2 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{4} = 81$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = 81$$
где
$$r = 3$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = -3$$
$$z_{2} = 3$$
$$z_{3} = – 3 i$$
$$z_{4} = 3 i$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = -3$$
$$x_{2} = 3$$
$$x_{3} = – 3 i$$
$$x_{4} = 3 i$$

$$x_{1} = -3$$

x2 = 3

$$x_{2} = 3$$

x3 = -3*I

$$x_{3} = – 3 i$$

x4 = 3*I

$$x_{4} = 3 i$$

x1 = -3.00000000000000

x2 = 3.00000000000000

x3 = -3.0*i

x4 = 3.0*i