x^6-18=0

$$x^{6} – 18 = 0$$

Дано уравнение
$$x^{6} – 18 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 – содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[6]{x^{6}} = sqrt[6]{18}$$
$$sqrt[6]{x^{6}} = -1 sqrt[6]{18}$$
или
$$x = sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
$$x = – sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 2^1/6*3^1/3

Получим ответ: x = 2^(1/6)*3^(1/3)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -2^1/6*3^1/3

Получим ответ: x = -2^(1/6)*3^(1/3)
или
$$x_{1} = – sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 18$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 18$$
где
$$r = sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (6 p right )} + cos{left (6 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (6 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (6 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
$$z_{2} = sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} – frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$
$$z_{4} = – frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} + frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$
$$z_{5} = frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} – frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$
$$z_{6} = frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} + frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
$$x_{2} = sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} – frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} + frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$
$$x_{5} = frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} – frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$
$$x_{6} = frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} + frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$

$$x_{1} = – sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$

6 ___ 3 ___
x2 = / 2 */ 3

$$x_{2} = sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}$$

6 ___ 3 ___ 6 ___ 5/6
/ 2 */ 3 I*/ 2 *3
x3 = – ———– – ————
2 2

$$x_{3} = – frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} – frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$

6 ___ 3 ___ 6 ___ 5/6
/ 2 */ 3 I*/ 2 *3
x4 = – ———– + ————
2 2

$$x_{4} = – frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} + frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$

6 ___ 3 ___ 6 ___ 5/6
/ 2 */ 3 I*/ 2 *3
x5 = ———– – ————
2 2

$$x_{5} = frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} – frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$

6 ___ 3 ___ 6 ___ 5/6
/ 2 */ 3 I*/ 2 *3
x6 = ———– + ————
2 2

$$x_{6} = frac{sqrt[6]{2} sqrt[3]{3}}{2} + frac{sqrt[6]{2} i}{2} 3^{frac{5}{6}}$$

x1 = -1.61887040686000

x2 = 0.80943520343 + 1.40198289778*i

x3 = 0.80943520343 – 1.40198289778*i

x4 = -0.80943520343 – 1.40198289778*i

x5 = 1.61887040686000

x6 = -0.80943520343 + 1.40198289778*i