x^6=5

$$x^{6} = 5$$

Дано уравнение
$$x^{6} = 5$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 6 – содержит чётное число 6 в числителе, то
ур-ние будет иметь два действительных корня.
Извлечём корень 6-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[6]{x^{6}} = sqrt[6]{5}$$
$$sqrt[6]{x^{6}} = -1 sqrt[6]{5}$$
или
$$x = sqrt[6]{5}$$
$$x = – sqrt[6]{5}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = 5^1/6

Получим ответ: x = 5^(1/6)
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

x = -5^1/6

Получим ответ: x = -5^(1/6)
или
$$x_{1} = – sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = sqrt[6]{5}$$

Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$z = x$$
тогда ур-ние будет таким:
$$z^{6} = 5$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$z = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{6} e^{6 i p} = 5$$
где
$$r = sqrt[6]{5}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{6 i p} = 1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (6 p right )} + cos{left (6 p right )} = 1$$
значит
$$cos{left (6 p right )} = 1$$
и
$$sin{left (6 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{3}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для z
Значит, решением будет для z:
$$z_{1} = – sqrt[6]{5}$$
$$z_{2} = sqrt[6]{5}$$
$$z_{3} = – frac{sqrt[6]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$
$$z_{4} = – frac{sqrt[6]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$
$$z_{5} = frac{sqrt[6]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$
$$z_{6} = frac{sqrt[6]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$
делаем обратную замену
$$z = x$$
$$x = z$$

Тогда, окончательный ответ:
$$x_{1} = – sqrt[6]{5}$$
$$x_{2} = sqrt[6]{5}$$
$$x_{3} = – frac{sqrt[6]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$
$$x_{4} = – frac{sqrt[6]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$
$$x_{5} = frac{sqrt[6]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$
$$x_{6} = frac{sqrt[6]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$

$$x_{1} = – sqrt[6]{5}$$

6 ___
x2 = / 5

$$x_{2} = sqrt[6]{5}$$

6 ___ ___ 6 ___
/ 5 I*/ 3 */ 5
x3 = – —– – ————-
2 2

$$x_{3} = – frac{sqrt[6]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$

6 ___ ___ 6 ___
/ 5 I*/ 3 */ 5
x4 = – —– + ————-
2 2

$$x_{4} = – frac{sqrt[6]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$

6 ___ ___ 6 ___
/ 5 I*/ 3 */ 5
x5 = —– – ————-
2 2

$$x_{5} = frac{sqrt[6]{5}}{2} – frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$

6 ___ ___ 6 ___
/ 5 I*/ 3 */ 5
x6 = —– + ————-
2 2

$$x_{6} = frac{sqrt[6]{5}}{2} + frac{sqrt{3} i}{2} sqrt[6]{5}$$

x1 = 1.30766048601000

x2 = 0.653830243006 – 1.13246720041*i

x3 = -0.653830243006 – 1.13246720041*i

x4 = -0.653830243006 + 1.13246720041*i

x5 = 0.653830243006 + 1.13246720041*i

x6 = -1.30766048601000