z^3=-2*i

$$z^{3} = – 2 i$$

Дано уравнение
$$z^{3} = – 2 i$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{z^{3}} = sqrt[3]{- 2 i}$$
или
$$z = sqrt[3]{2} sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = 2^1/3-i^1/3

Получим ответ: z = 2^(1/3)*(-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = – 2 i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = – 2 i$$
где
$$r = sqrt[3]{2}$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = – i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = – i$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 0$$
и
$$sin{left (3 p right )} = -1$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N – frac{pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = sqrt[3]{2} i$$
$$w_{2} = – frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} – frac{sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$w_{3} = frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} – frac{sqrt[3]{2} i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = sqrt[3]{2} i$$
$$z_{2} = – frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} – frac{sqrt[3]{2} i}{2}$$
$$z_{3} = frac{sqrt[3]{2} sqrt{3}}{2} – frac{sqrt[3]{2} i}{2}$$

Данное ур-ние не имеет решений

z1 = 1.25992104989*i

z2 = 1.09112363597 – 0.629960524947*i

z3 = -1.09112363597 – 0.629960524947*i