z^3+i=0

$$z^{3} + i = 0$$

Дано уравнение
$$z^{3} + i = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 3 – не содержит чётного числа в числителе, то
ур-ние будет иметь один действительный корень.
Извлечём корень 3-й степени из обеих частей ур-ния:
Получим:
$$sqrt[3]{z^{3}} = sqrt[3]{- i}$$
или
$$z = sqrt[3]{- i}$$
Раскрываем скобочки в правой части ур-ния

z = -i^1/3

Получим ответ: z = (-i)^(1/3)

Остальные 3 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{3} = – i$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{3} e^{3 i p} = – i$$
где
$$r = 1$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{3 i p} = – i$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (3 p right )} + cos{left (3 p right )} = – i$$
значит
$$cos{left (3 p right )} = 0$$
и
$$sin{left (3 p right )} = -1$$
тогда
$$p = frac{2 pi}{3} N – frac{pi}{6}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = i$$
$$w_{2} = – frac{sqrt{3}}{2} – frac{i}{2}$$
$$w_{3} = frac{sqrt{3}}{2} – frac{i}{2}$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$

Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = i$$
$$z_{2} = – frac{sqrt{3}}{2} – frac{i}{2}$$
$$z_{3} = frac{sqrt{3}}{2} – frac{i}{2}$$

Данное ур-ние не имеет решений

z1 = 0.866025403784 – 0.5*i

z2 = -0.866025403784 – 0.5*i

z3 = 1.0*i