На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
$$z^{4} + 16 = 0$$
Т.к. степень в ур-нии равна = 4 и свободный член = -16 < 0,
зн. действительных решений у соотв. ур-ния не существует
Остальные 4 корня(ей) являются комплексными.
сделаем замену:
$$w = z$$
тогда ур-ние будет таким:
$$w^{4} = -16$$
Любое комплексное число можно представить так:
$$w = r e^{i p}$$
подставляем в уравнение
$$r^{4} e^{4 i p} = -16$$
где
$$r = 2$$
– модуль комплексного числа
Подставляем r:
$$e^{4 i p} = -1$$
Используя формулу Эйлера, найдём корни для p
$$i sin{left (4 p right )} + cos{left (4 p right )} = -1$$
значит
$$cos{left (4 p right )} = -1$$
и
$$sin{left (4 p right )} = 0$$
тогда
$$p = frac{pi N}{2} + frac{pi}{4}$$
где N=0,1,2,3,…
Перебирая значения N и подставив p в формулу для w
Значит, решением будет для w:
$$w_{1} = – sqrt{2} – sqrt{2} i$$
$$w_{2} = – sqrt{2} + sqrt{2} i$$
$$w_{3} = sqrt{2} – sqrt{2} i$$
$$w_{4} = sqrt{2} + sqrt{2} i$$
делаем обратную замену
$$w = z$$
$$z = w$$
Тогда, окончательный ответ:
$$z_{1} = – sqrt{2} – sqrt{2} i$$
$$z_{2} = – sqrt{2} + sqrt{2} i$$
$$z_{3} = sqrt{2} – sqrt{2} i$$
$$z_{4} = sqrt{2} + sqrt{2} i$$
Данное ур-ние не имеет решений
z1 = -1.41421356237 – 1.41421356237*i
z2 = -1.41421356237 + 1.41421356237*i
z3 = 1.41421356237 + 1.41421356237*i
z4 = 1.41421356237 – 1.41421356237*i
