z^6-16*i*z^3-64=0

$$z^{6} – 16 i z^{3} – 64 = 0$$

Дано уравнение:
$$z^{6} – 16 i z^{3} – 64 = 0$$
Сделаем замену
$$v = z^{3}$$
тогда ур-ние будет таким:
$$v^{2} – 16 i v – 64 = 0$$
Это уравнение вида

a*v^2 + b*v + c = 0

Квадратное уравнение можно решить
с помощью дискриминанта.
Корни квадратного уравнения:
$$v_{1} = frac{sqrt{D} – b}{2 a}$$
$$v_{2} = frac{- sqrt{D} – b}{2 a}$$
где D = b^2 – 4*a*c – это дискриминант.
Т.к.
$$a = 1$$
$$b = – 16 i$$
$$c = -64$$
, то

D = b^2 – 4 * a * c =

(-16*i)^2 – 4 * (1) * (-64) = 0

Т.к. D = 0, то корень всего один.

v = -b/2a = –16*i/2/(1)

$$v_{1} = 8 i$$
Получаем окончательный ответ:
Т.к.
$$v = z^{3}$$
то
$$z_{1} = sqrt[3]{v_{1}}$$
тогда:
$$z_{1} = $$

3 _____
/ 8*I 6 ____
——- = 2*/ -1
1

$$z_{1} = – 2 i$$

___
z2 = I – / 3

$$z_{2} = – sqrt{3} + i$$

___
z3 = I + / 3

$$z_{3} = sqrt{3} + i$$

z1 = -1.73205080757 + 1.0*i

z2 = 1.73205080757 + 1.0*i

z3 = -2.0*i