Некоторому заводу требуется составить оптимальный по реализации производственный план выпуска двух видов изделий при определённых возможностях четырех

Некоторому заводу требуется составить оптимальный по реализации производственный план выпуска двух видов изделий при определённых возможностях четырех типов машин. План выпуска должен быть таким, чтобы от реализации выпушенной продукции завод получил наибольшую прибыль. В таблице указано время, необходимое для обработки каждого изделия указанными типами машин, максимальное возможное время работы каждой машины и прибыль от реализации. Виды изделий Прибыль А В С D 1 1 0,5 1 0 6 2 1 1 0 1 2 Время работы 18 12 12 9 Решение. Построим математическую модель задачи. Пусть х1-количество изделий вида 1, шт, х2 – количество изделий вида 2, шт запланированных к производству. Для их изготовления потребуется ( х1 + х2) часов работы машин типа А, (0,5х1 +х2) часов работы машин типа В, (х1 ) часов работы машин типа , х2 часов работы машин типа D. Так как, время работы ограничено, то получим систему неравенств: x1+х2≤180,5×1+х2≤12×1≤12х2≤9 По смыслу задачи переменные х1 ≥ 0, х2 ≥0. Суммарная прибыль составит 6х1 от реализации продукции 1 и 2х 2 от реализации продукции 2, то есть : F = 6х1 +2х 2. →max. Решим задачу графически Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).Построим уравнение x1+x2 = 18 по двум точкам.Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 18. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 18. Соединяем точку (0;18) с (18;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 + 1 • 0 – 18 ≤ 0, т.е. x1+x2 – 18≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.Построим уравнение 0.5×1+x2 = 12 по двум точкам.Для нахождения первой точки приравниваем x1 = 0. Находим x2 = 12. Для нахождения второй точки приравниваем x2 = 0. Находим x1 = 24. Соединяем точку (0;12) с (24;0) прямой линией. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 0.5 • 0 + 1 • 0 – 12 ≤ 0, т.е. 0.5×1+x2 – 12≤ 0 в полуплоскости ниже прямой.Построим уравнение x1 = 12.Эта прямая проходит через точку x1 = 12 параллельно оси OX2. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 – 12 ≤ 0, т.е. x1 – 12≤ 0 в полуплоскости левее прямой.Построим уравнение x2 = 9.Эта прямая проходит через точку x2 = 9 параллельно оси OX1. Определим полуплоскость, задаваемую неравенством. Выбрав точку (0; 0), определим знак неравенства в полуплоскости: 1 • 0 – 9 ≤ 0, т.е. x2 – 9≤ 0 в полуплоскости ниже прямой. Рассмотрим целевую функцию задачи F = 6×1+2×2 → max. Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 6×1+2×2 = 0. Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (6; 2). Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией. Прямая F(x) = const пересекает область в точке G. Так как точка G получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:0.5×1+x2=12×1=12Решив систему уравнений, получим: x1 = 12, x2 = 6Откуда найдем максимальное значение целевой функции:F(X) = 6*12 + 2*6 = 84

Часть выполненной работы