Табличный симплекс-метод

Для упрощения процесса решения исходные данные задачи линейного программирования при решении ее симплекс методом записываются в специальные симплекс-таблицы. Поэтому одна из модификаций симплекс метода получила название табличный симплекс метод. Задача линейного программирования в каноническом виде:

F=a0,1x1+a0,2x2+…a0,nxn +b → max

a1,1x1+a1,2x2+…a1,nxn + xn+1=b1

a2,1x1+a2,2x2+…a2,nxn +xn+2 =b2

…………………………………

am,1x1+am,2x2+…am,nxn+xn+m=bm

Исходная таблица для задачи имеет следующий вид:

x1 x2 xn-1 xn b
F -a0,1 -a0,2 -a0,n-1 -a0,n -b
xn+1 a1,1 a1,2 a1,n-1 a1,n b1
xn+2 a2,1 a2,2 a2,n-1 a2,n b2
xn+m am,1 am,2 am,n-1 am,n bm

x1, x2, xn — исходные переменные, xn+1, xn+2, xn+m — дополнительные переменные. Все дополнительные переменные мы приняли как базисные, а исходные переменные как небазисные (дополнительные записаны в первый столбец симплекс-таблицы а исходные в первую строку). При каждой итерации элементы симплекс-таблицы пересчитывают по определенным правилам.

  Алгоритм симплекс-метода.

 Подготовительный этап

Приводим задачу ЛП  к каноническому виду

F=a0,1x1+a0,2x2+…a0,nxn +b → max

a1,1x1+a1,2x2+…a1,nxn+xn+1=b1

a2,1x1+a2,2x2+…a2,nxn+xn+2=b2

Читайте также  Формулы

…………………………………

am,1x1+am,2x2+…am,nxn+xn+m=bm

В случае если в исходной задаче необходимо найти минимум — знаки коэффициентов целевой функции F меняются на противоположные a0,n=-a0,n. Знаки коэффициентов ограничивающих условий со знаком «≥» так же меняются на противоположные. В случае если условие содержит знак «≤» — коэффициенты запишутся без изменений.

 Шаг 0. Составляем симплексную таблицу, соответствующую исходной задаче

x1 x2 xn-1 xn b
F -a0,1 -a0,2 -a0,n-1 -a0,n -b
xn+1 a1,1 a1,2 a1,n-1 a1,n b1
xn+2 a2,1 a2,2 a2,n-1 a2,n b2
xn+m am,1 am,2 am,n-1 am,n bm

 Шаг 1. Проверка на допустимость.

Проверяем на положительность элементы столбца b (свободные члены), если среди них нет отрицательных то найдено допустимое решение (решение соответствующее одной из вершин многогранника условий) и мы переходим к шагу 2. Если в столбце свободных членов имеются отрицательные элементы то выбираем среди них максимальный по модулю — он задает ведущую строку k. В этой строке так же находим максимальный по модулю отрицательный элемент ak,l — он задает ведущий столбец — l и является ведущим элементом. Переменная, соответствующая ведущей строке исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу включается в базис. Пересчитываем симплекс-таблицу согласно правилам.

Читайте также  Пример - Абсолютный центр

Если же среди свободных членов есть отрицательные элементы — а в соответствующей строке — нет то условия задачи несовместны и решений у нее нет.

Если после перерасчета в столбце свободных членов остались отрицаетельные элементы, то переходим к первому шагу, если таких нет, то ко второму.

Шаг 2. Проверка на оптимальность.

На предыдущем этапе найдено допустимое решение. Проверим его на оптимальность Если среди элементов симплексной таблицы, находщихся в строке F (не беря в расчет элемент b0 — текущее значение целевой функции) нет отрицательных, то найдено оптимальное решение.

Если в строке F есть отрицательные элементы то решение требует улучшения. Выбираем среди отрицательных элементов строки F максимальный по модулю (исключая значение функции b)

a0,l=min{a0,i }

l — столбец в котором он находится будет ведущим. Для того, что бы найти ведущую строку, находим отношение соответсвующего свободного члена и элемента из ведущего столбца, при условии, что они неотрицательны.

bk/ak,l =min {bi/ai,l } при ai,l>0, bi>0

k — cтрока, для которой это отношение минимально — ведущая. Элемент ak,l — ведущий (разрешающий). Переменная, соответствующая ведущей строке (xk) исключается из базиса, переменная соответствующая ведущему столбцу (xl) включается в базис.

Читайте также  Абсолютная медиана графа

Пересчитываем симплекс-таблицу по формулам. Если в новой таблице после перерасчета в строке F остались отрицательные элементы переходим к шагу 2

Если невозможно найти ведущую строку, так как нет положительных элементов в ведущем столбце, то функция в области допустимых решений задачи не ограничена — алгоритм завершает работу.

Если в строке F и в столбце свободных членов все элементы положительные, то найдено оптимальное решение.

Правила преобразований симплексной таблицы.

При составлении новой симплекс-таблицы в ней происходят следующие изменения:

    • Вместо базисной переменной xk записываем xl; вместо небазисной переменной xl записываем xk.
    • ведущий элемент заменяется на обратную величину ak,l‘= 1/ak,l
    • все элементы ведущего столбца (кроме ak,l) умножаются на -1/ak,l
    • все элементы ведущей строки (кроме ak,l) умножаются на 1/ak,l
    • оставшиеся элементы симплекс-таблицы преобразуются по формуле ai,j‘= ai,j— ai,lx ak,j/ ak,l

Схему преобразования элементов симплекс-таблицы (кроме ведущей строки и ведущего столбца) называют схемой ”прямоугольника”.

схема прямоугольника

Преобразуемый элемент ai,j и соответствующие ему три сомножителя как раз и являются вершинами ”прямоугольника”.

Пример

1 Звезда2 Звезды3 Звезды4 Звезды5 Звезд (Пока оценок нет)
Загрузка...