Целая и дробная части числа

Введение
Актуальность данной работы обусловлена тем, что понятия «целая часть числа» и «дробная часть числа» не включены в программу общеобразовательных школ, многие авторы учебников не рассматривают данный раздел. Школьники могут встретить такие понятия на математических олимпиадах и всевозможных конкурсах. Здесь и возникают трудности в решении задач, связанных с нахождением целой и дробной частей числа. Но нельзя сказать, что школьники вообще не сталкиваются с изучением данной темы: многие школы, гимназии, лицеи с углубленным изучением математики включают ее в программу.
Целью работы является проведение исследования темы «целая и дробная часть числа».
…

1.1. Целая часть числа. Дробная часть числа
Понятие целой части числа было введено немецким математиком Иоганном Карлом Фридрихом Гауссом (1771-1855), автором «Трудов по теории чисел». Символ [x] был введён К. Гауссом в 1808 г.
Определение. Целой частью числа называется x называется наибольшее целое число, не превосходящее x. Обозначение: [x] или E(x).
Примеры: а) [3] = 3, б) [4,7] = 4, в) [−7] = −7, г) [−5,1] = −6,
д) [π]=3, г) [0,5]=0.
Определение. Дробной частью числа x называется разность между числом х и его целой частью, т.е. {x} = x − [x].
Примеры: а) {5} = 5 − [5] = 5 − 5 = 0,
б) {9,8} = 9,8 − [9,8] = 9,8 − 9 = 0,8,
в) {−2} = 0,
г) {−5,3} = −5,3 − (−6) = 0,7.
Утверждение. Дробная часть любого числа является неотрицательным числом не большим 1, т.е. 0 ≤ {x} <1 для любого числа x. Доказательство. Поскольку целая часть числа x наибольшее целое число x, не превосходящее данное, то целое число [x] + 1 уже больше x. Значит [x] ≤ x <[x] + 1. ... 1.3. Функция у = {х} и ее график Для построения графика проведем исследование функции у = {х} [12]: 1. Функция имеет смысл для всех значений переменной x, что следует из определения дробной части числа. Таким образом, область определения этой функции все действительные числа D({x}) = R. 2. Функция ни четная, ни нечетная. Область определения функции симметрична относительно начала координат, но не выполняется ни условие четности (f (-x) = f (x)), ни условие нечетности (f (-x) = - f (x)). 3. Функция периодическая с наименьшим положительным периодом T = 1. 4. Функция y = {x} принимает значения на интервале [0;1), что следует из определения дробной части числа, т.е. E({x}) = [0;1). 5. Из предыдущего свойства следует, что функция y = {x} ограничена. 6. Функция y = {x} непрерывна на каждом интервале [n; n+1), где n — целое, в каждой точке n функция терпит разрыв первого рода. Скачок равен 1. 7. Функция y = {x} обращается в 0 при всех целых значениях x, что следует из определения функции. ... 1.4. Преобразования графиков 1.4.1. Преобразование симметрии относительно оси Ох y=f(x) → y=-f(x) График функции y = - f (x) получается в результате преобразования симметрии графика функции y = f (x) относительно оси Ох. Замечание. Точки пересечения графика с осью x остаются неизменными [11]. Рассмотрим данное преобразование на примере функций целой и дробной части числа. y = f [x] → y = - f [x] (на графике зеленым цветом представлена функция y = f [x], сиреневым – функция y = - f [x]). y = f {x} → y = - f {x} (на графике функция y = f {x} представлена желтым цветом, а функция y = - f {x} – сиреневым). Посмотрев на графики, мы действительно можем сказать, что при данном преобразовании функция отражается относительно оси Ох. 1.4.2. Преобразование симметрии относительно оси Оy y = f(x) → y = f(-x) График функции y = f (-x) получается в результате преобразования симметрии графика функции y = f (x) относительно оси Оy. Замечание. ...