Параллелограммы ABCD и ADNM лежат в разных плоскостях: а) определить взаимное расположение прямых ВС и MN: б) определить взаимное расположение прямых АВ и DN; : в) докажите параллельность плоскостей АВМ и DCN. Ответ обоснуйте.

а) Прямые ВС и MN параллельны, так как они лежат в параллельных плоскостях.

б) Прямые АВ и DN пересекаются, так как они не параллельны и лежат в разных плоскостях.

в) Для доказательства параллельности плоскостей АВМ и DCN воспользуемся свойством, что если две прямые пересекаются с двумя параллельными плоскостями, то эти плоскости параллельны.

Найдем точку пересечения прямых АВ и DN – обозначим ее как P. Если АВ и DN пересекаются, то плоскости АВМ и DCN не параллельны.

Предположим, что плоскости АВМ и DCN пересекаются, и обозначим точку пересечения как Q. Также обозначим точку пересечения прямой ВС и плоскости АВМ как R.

Тогда треугольники PQR и NQR находятся в плоскости DCN и ABM соответственно и имеют общую сторону QR. Также у этих треугольников есть параллельные стороны PQ и QR.

Следовательно, по теореме о треугольниках с двумя параллельными сторонами, треугольники PQR и NQR – подобные треугольники.

Так как треугольники подобны, то и их стороны соотносятся пропорционально.

Но стороны треугольников PQR и NQR соответственно равны пропорциональным сторонам параллелограммов ADNM и ABCD.

Таким образом, стороны параллелограммов также пропорциональны, а значит, они параллельны.

Исходя из этого, мы получаем, что плоскости АВМ и DCN также параллельны.