В кубе ABCDA B,C, D, на рёбрах АД иВ,С1 выбраны точки Е и К так, что Е – середина AD, BIK:КС=3:1. Выяснить взаимное расположение: а) прямых DD и В,К, С,В| и АЕ, СС, и ВК (если есть скрещивающиеся прямые, доказать это и найти угол между ними); б) прямой DE и плоскостью АВС, прямой АВ и плоскостью A¡CDi (если есть параллельные, доказать это).

Дано, что точка Е является серединой отрезка AD, а отношение длин отрезков BIK и КС равно 3:1.

1) Взаимное расположение прямых DD и ВК: Продолжим отрезок ВК за точку К до пересечения с прямой DD (пусть это будет точка М). Также соединим точки М и К. Очевидно, что прямые DD и МК пересекаются в точке М, поскольку прямые сходятся на бесконечности и ни одна из них не параллельна другой. Угол между прямыми DD и ВК можно найти, используя свойство параллельных прямых: так как АЕ и МК – прямые, проходящие через одну точку (то есть взаимно пересекающиеся), и DD параллельна МК, то угол АЕК будет равен углу МКВ.

2) Взаимное расположение прямой DD и плоскости АВС: Так как АЕ – прямая, перпендикулярная плоскости АВС, то прямая DD, лежащая в этой плоскости, будет пересекать плоскость АВС под прямым углом. То есть прямая DD пересекает плоскость АВС.

3) Взаимное расположение прямой DE и плоскости АВС: Возьмем любую точку на прямой DE. Чтобы показать, что прямая DE параллельна плоскости АВС, достаточно показать, что все отрезки, соединяющие точки на прямой DE с точками на плоскости АВС, перпендикулярны плоскости АВС. Если покажем, что отрезок CE перпендикулярен плоскости АВС, то это будет означать, что все остальные отрезки, соединяющие точки на прямой DE с точками на плоскости АВС, также будут перпендикулярны плоскости АВС. Чтобы показать, что отрезок CE перпендикулярен плоскости АВС, достаточно показать, что он перпендикулярен двум прямым: AC и CE. Очевидно, что AC перпендикулярен плоскости АВС, так как АС – диагональ куба и любая диагональ перпендикулярна всем ребрам, лежащим в этой плоскости. Также из данного условия (отношение длин отрезков BIK и КС равно 3:1) следует, что прямая CE является высотой треугольника ABC, и поэтому она перпендикулярна стороне АВ. Таким образом, отрезок CE перпендикулярен и AC, и AE, а следовательно, перпендикулярен плоскости АВС.

Таким образом, мы установили, что прямые DD и МК пересекаются в точке М, и нашли угол между ними; прямая DD пересекает плоскость АВС; прямая DE параллельна плоскости АВС.