Докажите, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно диаметру описанной около треугольника окружности в случаях 2 и 3 задачи 2.

Для доказательства данного утверждения рассмотрим треугольник ABC с сторонами a, b и c, и соответствующими противолежащими углами A, B и C.

В случае 2 задачи 2 требуется доказать, что a/sin(A) = 2R, где R – радиус описанной окружности треугольника.

Для начала вспомним, что радиус описанной окружности треугольника равен половине диаметра описанной около треугольника окружности.

У нас есть два утверждения, которые можно использовать для доказательства:

1. Для любого угла A в треугольнике ABC выполнено соотношение: sin(A) = a/(2R).
2. Также известно, что радиус описанной окружности треугольника равен половине диаметра описанной около треугольника окружности.

Как видно, первое утверждение позволяет нам связать синус угла А с диаметром описанной около треугольника окружности. Второе утверждение дает нам связь между радиусом описанной окружности и диаметром описанной около треугольника окружности.

Теперь из этих двух утверждений можно сделать следующий вывод:

a/sin(A) = (2R*sin(A))/sin(A) = 2R,

что и требовалось доказать.

Аналогично можно доказать и для случая 3 задачи 2, где требуется доказать, что a/sin(A) = 2r, где r – радиус вписанной окружности треугольника.

Таким образом, мы доказали, что отношение любой стороны треугольника к синусу противолежащего ей угла равно соответствующему радиусу окружности, описанной или вписанной в данный треугольник, в зависимости от задачи.