На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для доказательства утверждения, что каждая сторона треугольника меньше половины его периметра, воспользуемся противоречием.
Предположим, что существует треугольник ABC, в котором одна из сторон, например, AB, больше или равна половине периметра треугольника. Пусть P обозначает полупериметр треугольника, тогда P=(AB+BC+AC)/2.
Так как AB ≥ P/2, то AB ≥ (AB+BC+AC)/4. Умножим обе части неравенства на 4, получим 4AB ≥ AB+BC+AC.
Вычтем AB из обеих частей, получим 3AB ≥ BC+AC.
Точно так же можно доказать, что 3BC ≥ AB+AC и 3AC ≥ AB+BC.
Теперь сложим все три неравенства:
3AB + 3BC + 3AC ≥ BC+AC + AB+AC + AB+BC,
3(AB + BC + AC) ≥ 2(AB + BC + AC).
Так как AB + BC + AC > 0 (так как треугольник существует), можем сократить обе части неравенства на AB + BC + AC:
3 ≥ 2.
Получили противоречие, так как 3 не может быть меньше 2.
Следовательно, предположение о том, что существует треугольник, в котором одна из сторон больше или равна половине его периметра, неверно. Значит, в любом треугольнике каждая сторона меньше половины его периметра.
