На странице представлен фрагмент
Реши любую задачу с помощью нейросети.
Для доказательства этого факта воспользуемся принципом нулевого круга.
Пусть даны четыре окружности, которые попарно касаются друг друга в точках А, В, С, Д. Пусть O1, O2, O3 и O4 – центры этих окружностей, соответственно.
Так как окружности касаются друг друга в точках A, B, C, D, значит, отрезки О1А, О2В, О3С и О4D являются радиусами окружностей.
Рассмотрим треугольник O1O2O3. По построению, он является равносторонним, так как радиусы окружностей, соединяющих его вершины, равны между собой (О1А = О2В = О3С).
Для доказательства, что точки касания лежат на одной окружности, нам достаточно показать, что они находятся на одинаковом расстоянии от центра треугольника O1O2O3.
Возьмем отрезок О2О3. Он является стороной треугольника O1O2O3 и равен радиусу окружности, которая проходит через точку касания окружностей O2 и O3. Так как треугольник O1O2O3 равносторонний, то отрезок О2О3 является его медианой, а также высотой и биссектрисой.
Аналогично, отрезки О1О4, О1О3 и О2О4 аналогично являются медианами, высотами и биссектрисами соответственно.
Таким образом, мы получаем, что точки касания окружностей лежат на медианах, высотах и биссектрисах треугольника O1O2O3. По свойству принципа нулевого круга, эти точки лежат на одной окружности с центром в точке пересечения медиан, высот и биссектрис треугольника O1O2O3.
Таким образом, мы доказали, что точки касания данных окружностей лежат на одной окружности.
