Два треугольника ABC и DEF, в которых AB = DE, BC = EF и ZABC = ZDEF. Докажите, что треугольники равны и найдите периметр треугольника DEF, если DE + EF = 5 и AC = 3.

Для начала докажем, что треугольники ABC и DEF равны.

Зная, что AB = DE, BC = EF и ZABC = ZDEF, мы можем использовать теорему SSS (сторона-сторона-сторона) для доказательства равенства треугольников.

Следовательно, нам нужно показать, что стороны AC и DF также равны.

По условию, AC = 3 и известно, что AB = DE.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Давайте нарисуем высоту из точки B на сторону AC и назовем точку пересечения H. Так как треугольник ABC – прямоугольный, то BH будет являться высотой и BH^2 + HC^2 = BC^2.

Мы знаем, что BC = EF, поэтому можем записать уравнение: BH^2 + HC^2 = EF^2.

Теперь рассмотрим треугольник DEF. Аналогично, нарисуем высоту из точки F на сторону DE и назовем точку пересечения K. Так как треугольник DEF – прямоугольный, то FK будет являться высотой и FK^2 + KE^2 = DE^2.

У нас уже есть DE + EF = 5. Подставляя значения DE и EF из этого уравнения и уравнений для высот в ABC и DEF, мы получаем уравнение: FK^2 + KE^2 + EF^2 = BH^2 + HC^2 = EF^2.

Сокращая EF^2 с обеих сторон уравнения, мы получаем FK^2 + KE^2 = BH^2 + HC^2.

По теореме Пифагора для треугольников FKB и BHC, мы можем заключить, что FK = BH и KE = HC.

Таким образом, мы доказали, что сторона DF равна стороне AC. То есть треугольники ABC и DEF равны.

Теперь найдем периметр треугольника DEF. Так как DE + EF = 5, а сторона DF равна стороне AC = 3, то сторона EF = 5 – 3 = 2.

Значит, периметр треугольника DEF равен DF + DE + EF = 3 + 2 + 2 = 7.

Таким образом, мы доказали, что треугольники ABC и DEF равны, а периметр треугольника DEF равен 7.