На стороне AC треугольника ABC нашлась такая точка D, что DB = DC. Медиана AM и отрезок BD пересекаются в точке X. Оказалось, что AC = 2AD + 2DX. Докажите, что X — середина отрезка AM.

Для начала докажем, что X лежит на медиане AM.

Пусть M – середина стороны BC. Так как AD – медиана треугольника ABC, то BM = MC. Пусть P – точка, в которой прямая BD пересекает AM. Нужно доказать, что P совпадает с M.

По условию задачи мы знаем, что AC = 2AD + 2DX, а также DB = DC. Рассмотрим два треугольника: ABC и DBC.

1) По теореме о медиане медиана AC делит отрезок BD в отношении 2:1. То есть, BP = 2PD.

2) Так как DB = DC, то треугольник DBC – равнобедренный, а значит, BM является высотой этого треугольника.

3) Из двух предыдущих пунктов следует, что треугольники BMP и DMP – подобные, причем соотношение сторон в них равно 1:2.

Так как BM и MP являются высотами с одинаковыми основаниями BD и DP, то треугольники BMP и DMP равны.

Значит, угол BMP равен углу DMP. Однако, так как P лежит на AM, то угол BMP и угол DMP являются соответственными углами при равенстве прямолинейных углов BMP и DMP. Значит, треугольники BMP и DMP – подобные, а значит, угол BMD равен углу DMP.

Но BM является медианой треугольника ABC, и, как известно, медианы делят противоположные углы на равные части. Значит, угол BMD равен углу CMD, а значит, BM = CM.

Таким образом, точка M также является серединой отрезка BC.

А так как P лежит на AM и на BM, то она совпадает с M.

Итак, мы доказали, что точка X, в которой пересекаются медиана AM и отрезок BD, является серединой отрезка AM.