Окружность Х проходит через вершины С и Д параллелограмма АБСД с острым углом А и касается стороны АБ в точке Б. Прямые АС и АД второй раз пересекают окружность Х в точках Е и Ф соответственно.Найдите, в каком отношении прямые ЕФ делит отрезок АБ.

Для начала построим диагонали АС и АД параллелограмма АБСД.
Так как касательная к окружности в точке касания перпендикулярна радиусу, то можно сказать, что линия касательной в точке Б параллельна диагонали АД.

Заметим, что угол А биссектриса, так как это параллелограмм. Также угол САД равен углу АСД, так как это параллелограмм.
Из данных следует, что угол САД равен углу АСД, следовательно, треугольник АСД – равнобедренный.
Следовательно, угол АФД равен углу ДСЕ, так как они лежат на радиусах той же дуги.

Обозначим угол АСД как α и угол АФД как β. Так как α + β = 180° (сумма углов на прямой), то угол СФЕ равен α.
А так как треугольник АСД равнобедренный, то угол СДА также равен α.
Из параллельности прямых АС и БЕ следует, что угол СAE равен α.
Так как угол САЕ равен углу СДА, а угол САД равен углу АДФ (по свойству касаемых углов), то треугольники АЕС и ДФА подобны.
Таким образом, отношение длин отрезков АЕ и АС равно отношению длин отрезков ДФ и АД.

Ответ: прямые ЕФ делят отрезок АБ в таком же отношении, в котором отрезки АЕ и АС делятся отрезками ДФ и АД.