ABCD – прямоугольник. O – точка пересечения его диагоналей. Точка S одинакова удалена от всех вершин прямоугольника. Докажите что прямая SO перпендикулярна плоскости прямоугольника.

Для начала, построим прямые SO, AO и DO. Заметим, что в прямоугольнике ABCD, диагонали AC и BD являются взаимно перпендикулярными.

Далее, возьмем произвольную вершину прямоугольника, например, точку A. Поскольку точка S одинаково удалена от всех вершин прямоугольника, расстояния AS, BS, CS и DS равны.

Рассмотрим треугольники ASB и ASC. У них общая сторона AS и общий отрезок пересечения SA. Также, из равенства расстояний AS = BS = CS следует, что углы между прямыми AS и BS, AS и CS также равны.

Теперь рассмотрим треугольники ASD и AOC. У них общая сторона AS и общий отрезок пересечения SA. Также, поскольку углы между прямыми AS и BS, AS и CS равны, то углы между прямыми AS и DS, AS и OC также равны.

Поскольку у двух треугольников ASD и AOC равны две пары углов, они подобны. Следовательно, соответствующие стороны пропорциональны.

Так как угол ASD = угол AOC и угол SDA = угол OAC, то треугольники ASD и AOC также равны по углам. Следовательно, их стороны пропорциональны.

Строим прямую OD, что OD || AC и проецируем треугольник ASD на прямую OD. Согласно свойствам подобных треугольников, угол ASD = углу ODA.

Так как угол ASD = угол AOC, то угол AOC = углу ODA. Из альтернативных углов следует, что эти две прямые OD и OC параллельны.

Таким образом, прямая СО параллельна прямой OD, а это значит, что они обе перпендикулярны плоскости прямоугольника ABCD.