Длина средней линии трапеции равна 10√3. Около трапеции описана окружность. Ее центральный угол, опирающийся на боковую сторону, равен 60o. Найти длину высоты трапеции.

Для решения задачи воспользуемся свойствами окружности и трапеции.

1. Заметим, что центральный угол окружности, опирающийся на боковую сторону трапеции, равен 60 градусам. Такой угол соответствует дуге окружности, равной 1/6 от полного оборота.

2. По свойствам окружности, длина дуги, опирающейся на угол центральный, равна произведению радиуса окружности на меру угла в радианах. Обозначим радиус окружности за R.

3. Таким образом, длина дуги, соответствующей углу 60 градусов, равна (1/6) * 2πR = πR/3.

4. Из условия задачи получаем, что длина средней линии трапеции равна 10√3. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований трапеции.

5. Обозначим основания трапеции за a и b. Тогда a + b = 20√3.

6. Длина окружности окружности, описанной около трапеции, равна сумме длин дуг, соответствующих сторонам трапеции.

7. Длина окружности равна а + b + πR/3.

8. Равенство длин средней линии и окружности дает нам уравнение: 20√3 + πR/3 = 10√3.

9. Переносим слагаемое πR/3 на другую сторону уравнения: 20√3 = 10√3 – πR/3.

10. Умножаем обе части уравнения на 3: 60√3 = 30√3 – πR.

11. Переносим слагаемое 30√3 на другую сторону уравнения: 30√3 + πR = 60√3.

12. Выражаем радиус окружности R: R = (60√3 – 30√3)/π.

13. Выражаем длину высоты трапеции h с помощью радиуса R: h = 2R.

14. Подставляем значение R и вычисляем: h = 2((60√3 – 30√3)/π).

15. Раскрываем скобки и упрощаем выражение: h = (120√3 – 60√3)/π.

16. Получаем результат: h = 60√3/π.

Таким образом, длина высоты трапеции равна 60√3/π.