На сторонах AB , BC и AC треугольника ABC отмечены точки Z, Y и X соответственно. Известно, что AZ=45, BZ=30, площадь треугольника ABX равна 800 и что площадь четырёхугольника BXYZ тоже равна 800. Чему равна площадь треугольника ABC?

Для решения задачи воспользуемся формулой площади треугольника.

1. Зная площадь треугольника ABX и длину AZ, мы можем найти длину высоты треугольника ABX, проведенной из вершины B. Обозначим эту высоту как h_ABX.

2. Площадь треугольника ABX равна половине произведения длины основания AB и высоты h_ABX:
800 = 0.5 * AB * h_ABX

3. Используем известные значения AZ и BZ, чтобы найти длину отрезка AB:
AB = AZ + BZ = 45 + 30 = 75

4. Подставляем найденное значение AB в уравнение площади треугольника ABX:
800 = 0.5 * 75 * h_ABX
h_ABX = 800 * 2 / 75 = 1600 / 75 = 21.33

5. Зная длину высоты треугольника ABX из вершины B, мы можем найти площадь треугольника ABC с помощью формулы:
S_ABC = 0.5 * AB * h_ABC, где h_ABC – высота треугольника ABC, проведенная из вершины B.

6. Заметим, что высота треугольника ABC и высота треугольника ABX, опущенная на основание AB, являются смежными сторонами прямоугольника BZX. Поскольку площадь четыреугольника BXYZ равна 800, а основание BZ равно 30, то высота треугольника ABC h_ABC равна 800 / 30 = 26.67

7. Теперь можем найти площадь треугольника ABC, подставив значения основания AB и высоты h_ABC в формулу:
S_ABC = 0.5 * 75 * 26.67 = 1000.125

Ответ: площадь треугольника ABC равна 1000.125.