Равносторонний треугольник со стороной а вращается вокруг внешней оси: а) высота треугольника продолжена за его сторону на свою длину и через конец этого продолжения проведен перпендикуляр к нему, который и является осью вращения; б) высота треугольника продолжена за его вершину на свою длину и через конец этого продолжения проведен перпендикуляр к нему, который и является осью вращения. Найдите и сравнить объемы и площади поверхности полученных тел вращения.

Для решения задачи нам нужно найти объемы и площади поверхности двух тел вращения, образованных при вращении равностороннего треугольника.

а) В этом случае осью вращения является перпендикуляр, проведенный через конец продолжения высоты треугольника. Известно, что высота треугольника равна длине его стороны. При вращении треугольника вокруг этой оси образуется усеченный конус с двумя равными основаниями, радиус которых равен стороне треугольника. Объем усеченного конуса можно найти по формуле:

V = (1/3) * π * h * (R^2 + r^2 + R*r),

где h – высота усеченного конуса, R – радиус большей основы, r – радиус меньшей основы.

Так как это правильный треугольник, то его основание равностороннее, а значит R = r = a. Тогда формула для объема усеченного конуса упрощается до:

V = (1/3) * π * a^2 * (a^2 + a^2 + a^2) = (1/3) * π * a^2 * (3a^2) = π * a^4.

Площадь поверхности усеченного конуса может быть найдена по формуле:

S = π * (R + r) * l,

где l – образующая конуса.

Так как R = r = a, то формула упрощается до:

S = π * (a + a) * l = 2π * a * l.

Б) В этом случае осью вращения является высота треугольника, продолженная за его вершину. При вращении треугольника вокруг этой оси образуется цилиндр, у которого радиус основания равен стороне треугольника, а высота равна двойной стороне треугольника. Объем цилиндра можно найти по формуле:

V = π * r^2 * h,

где r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра.

Так как это равносторонний треугольник, то его основание равностороннее, а значит r = a. Высота цилиндра равна двойной стороне треугольника, то есть h = 2a. Тогда формула для объема цилиндра упрощается до:

V = π * a^2 * (2a) = 2π * a^3.

Площадь поверхности цилиндра можно найти по формуле:

S = 2π * r * (r + h),

где r – радиус основания цилиндра, h – высота цилиндра.

Подставляя значения, получаем:

S = 2π * a * (a + 2a) = 2π * a * 3a = 6π * a^2.

Таким образом, мы нашли объемы и площади поверхности для обоих тел вращения. При сравнении объемов видим, что V(усеченного конуса) = π * a^4, а V(цилиндра) = 2π * a^3. Поскольку a > 0, то a^4 > a^3, значит V(усеченного конуса) > V(цилиндра).

При сравнении площадей поверхности видим, что S(усеченного конуса) = 2π * a * l, а S(цилиндра) = 6π * a^2. Поскольку a > 0, то 2 * a < 3 * a^2, значит S(усеченного конуса) < S(цилиндра). Таким образом, объем усеченного конуса больше, чем объем цилиндра, а площадь поверхности усеченного конуса меньше, чем площадь поверхности цилиндра.