В тетраэдре DABC точка К принадлежит ребру ВС, точка Р принадлежит ребру ДС так, что ВК = КС, DP = РС. Плоскости какой грани параллельна прямая РК (доказать)?

Для решения этой задачи нужно использовать свойство параллельных плоскостей, а именно: если две плоскости параллельны одной и той же прямой, то они будут параллельны между собой.

Возьмем две плоскости: плоскость DAB и плоскость DBC. Рассмотрим прямую РК.

Пусть точка К’ – это точка на ребре АС такая, что К’Т = ТС. Продлим отрезок К’Т до пересечения с плоскостью DAB в точке Q.

Так как VK = KS и К’Т = ТС, то заметим, что треугольники VKT и К’ТС равны по двум сторонам и углу между ними. Следовательно, эти треугольники равны и дополнительно имеют общую сторону КТ, поэтому они являются равными треугольниками.

Так как VKT и К’ТС равны, то у них также равны соответствующие углы. То есть угол VКТ и угол К’ТС равны.

Но угол К’ТС также равен углу TQS, так как они соответственные углы при параллельных прямых KT и TQ.

Итак, получаем, что угол VКТ равен углу TQS. Но угол VКТ лежит в плоскости DBC, а угол TQS лежит в плоскости DAB.

Значит, плоскость DAB и плоскость DBC параллельны, так как содержат параллельные прямые РК и КТ.

Таким образом, плоскость DAB параллельна прямой РК.